@@ -237,57 +237,65 @@ mais seulement à sa direction, le champ peut s'écrire ici plus simplement :
Soit un **point $`M`$ quelconque***de coordonnées $`(\alpha, \beta, \gamma)`$*.
Si une distribution de courants $`\dens`$ comprend des charges négative et positives, le regard cherchera d'abord la présence d'un plan d'antisymétrie pour $`\dens`$ qui contient $`M`$ . Si un tel plan existe, par exemple le plan $`\mathcal{P}_A`$ qui contient le point $`M`$ et défini par les vecteurs $`\overrightarrow{e_{\alpha}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\gamma}}`$, alors $`\overrightarrow{E}`$ est perpendiculaire à ce plan et s'écrit $`\overrightarrow{E}=E_{\beta}\;\overrightarrow{e_{\beta}}`$.
Le regard cherchera d'abord la présence d'un plan de symétrie pour $`\overrightarrow{j}`$ qui contient $`M`$ .
Si un tel plan existe, par exemple le plan $`\mathcal{P}_A`$ qui contient le point $`M`$ et défini par les vecteurs
$`\overrightarrow{e_{\alpha}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\gamma}}`$, alors $`\overrightarrow{B}`$
est perpendiculaire à ce plan et s'écrit $`\overrightarrow{B}=B_{\beta}\;\overrightarrow{e_{\beta}}`$.
**$`\mathbf{\left.\begin{array}{c}
\overrightarrow{E} \text{ est un vecteur polaire } \\
\mathcal{P}_A\,(M, \overrightarrow{e_{\alpha}}, \overrightarrow{e_{\gamma}}) \text{ est plan d'antisymétrie }
\overrightarrow{B} \text{ est un vecteur axial } \\
\mathcal{P}_A\,(M, \overrightarrow{e_{\alpha}}, \overrightarrow{e_{\gamma}}) \text{ est plan de symétrie }
Si n'existe pas de plan d'antisymétrie passant par $`M`$, mais que tout point $`M`$ appartient à deux plans de symétries, par exemples les plans $`\mathcal{P}_{S1}\,(M, \overrightarrow{e_{\alpha}}, \overrightarrow{e_{\beta}})`$ et $`\mathcal{P}_{S2}\,(M, \overrightarrow{e_{\beta}}, \overrightarrow{e_{\gamma}})`$, alors la direction de $`\overrightarrow{E}`$ au point $`M`$ est celle de la droite $`\Delta=(M,\overrightarrow{e_{\beta}})`$ intersection entre ces deux plans. $`\overrightarrow{E}`$ s'écrit alors $`\overrightarrow{E}=E_{\beta}\;\overrightarrow{e_{\beta}}`$.
<!--je ne sais pas si ce cas ci-dessous existe, à vérifier-->
Si n'existe pas de plan de symétrie passant par $`M`$, mais que tout point $`M`$ appartient à deux plans
d'antisymétrie, par exemples les plans $`\mathcal{P}_{S1}\,(M, \overrightarrow{e_{\alpha}}, \overrightarrow{e_{\beta}})`$
et $`\mathcal{P}_{S2}\,(M, \overrightarrow{e_{\beta}}, \overrightarrow{e_{\gamma}})`$, alors la direction
de $`\overrightarrow{B}`$ au point $`M`$ est celle de la droite $`\Delta=(M,\overrightarrow{e_{\beta}})`$
intersection entre ces deux plans. $`\overrightarrow{B}`$ s'écrit alors $`\overrightarrow{B}=B_{\beta}\;\overrightarrow{e_{\beta}}`$.
**$`\mathbf{\left.\begin{array}{c}
\overrightarrow{E} \text{ est un vecteur polaire } \\
\mathcal{P}_{S1}\,(M, \overrightarrow{e_{\alpha}}, \overrightarrow{e_{\beta}}) \text{ est plan de symétrie} \\
\mathcal{P}_{S2}\,(M, \overrightarrow{e_{\beta}}, \overrightarrow{e_{\gamma}}) \text{ est plan de symétrie} \\
\overrightarrow{B} \text{ est un vecteur axial } \\
\mathcal{P}_{S1}\,(M, \overrightarrow{e_{\alpha}}, \overrightarrow{e_{\beta}}) \text{ est plan d'antiymétrie} \\
\mathcal{P}_{S2}\,(M, \overrightarrow{e_{\beta}}, \overrightarrow{e_{\gamma}}) \text{ est plan d'antisymétrie} \\
##### Synthèse de l'étude des invariances et symétries.
Il s'agit de rassembler au sein d'une même écriture les informations obtenues sur l'expression du champ électrique $`\overrightarrow{E}`$ en tout point de l'espace.
Il s'agit de rassembler au sein d'une même écriture les informations obtenues sur l'expression
du champ magnétique $`\overrightarrow{B}`$ en tout point de l'espace.
Soit un *système de coordonnées $`(\alpha, \beta, \gamma)`$*.
Si l'étude des invariances de la distribution de charge conduit à $`\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}\,(\beta)`$ et si l'étude des symétrie de la distribution de charge conduit à $`\overrightarrow{E}=E_{\beta}\,\overrightarrow{e_{\beta}}`$
alors en tout point de l'espace l'expression du champ électrique se limite à
!!!! Si en électrostatique l'étude de trois distributions de charge d'école conduit à :
!!!! Si en électrostatique l'étude de trois distributions de charge d'école conduisait à :
!!!! * $`\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}_r\,(r)\;\overrightarrow{e_r}`$ en coordonnées sphériques $`(r, \varphi, \theta)`$ pour une sphère uniformément chargée.
!!!! * $`\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}_{\rho}\,(\rho)\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$ en coordonnées cylindriques $`(r, \varphi, \theta)`$ pour un cylindre infini uniformément chargé.
!!!! * $`\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}_z\,(z)\;\overrightarrow{e_z}`$ en coordonnées cartésiennes
!!! $`(x, y, z)`$ pour un plan $`xOy`$ uniformément chargé.
!!!
!!!! Il ne faut pas croire que toute composante de champ $`\overrightarrow{E}_{\alpha}`$ ne peut varier qu'en fonction de la coordonnée $`\alpha`$.
!!!! Cela est vrai en magnétostatique dès cet étape contreforts. L'étude du champ magnétique créé par des distributions de courants permanents donne :
!!!! Cela est vrai en magnétostatique. L'étude du champ magnétique créé par des distributions de courants permanents donne :
!!!! * $`\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}_{\theta}\,(\rho)\;\overrightarrow{e_{\theta}}`$ en coordonnées cylindriques pour un fi infini.
!!!! * $`\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}_{z}\,(\rho)\;\overrightarrow{e_z}`$ en coordonnées cylindriques pour une bobine infinie.
!!!!
!!!! Cela sera d'autant plus vrai vrai en électromagnétisme à l'étape montagne. Par exemple l'étude du champ électromagnétique $`(\overrightarrow{E}, \overrightarrow{B})`$ créé par un fil conducteur parcouru par un courant variable donnera :
!!!! Cela sera d'autant plus vrai vrai en électromagnétisme. Par exemple l'étude du champ électromagnétique $`(\overrightarrow{E}, \overrightarrow{B})`$ créé par un fil conducteur parcouru par un courant variable donnera :
!!!! S'il est bon de se souvenir du résultat d'exemples, il est important de garder un esprit ouvert, et de redémontrer à chaque cas, par l'étude des symétries et invariances, l'expression générale du champ électrostatique $`\overrightarrow{E}`$ en tout point de l'espace. Cet entraînement indispensable pour la suite doit commencer dès cette étape électrostatique.
