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12.temporary_ins/08.grad-div-rot/70.combinaisons-of-operators/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -73,7 +73,7 @@ visible: false
 <br>
 **$`\large{\Delta}=div\;\overrightarrow{grad}`$**
 
-##### 4 - Relations entre les propriétés locales d'un champ scalaire et sa propagation
+##### 4 - Relation entre les propriétés locales d'un champ scalaire et sa propagation
 
 * Tout champ scalaire $`f`$ (continue et au moins deux fois dérivable) possède son champ de gradient $`\overrightarrow{f}`$.
 * *Si le gradient de $`\overrightarrow{f}`$ vérifie l'* **équation d'onde** :   
@@ -124,7 +124,7 @@ visible: false
   <br>
   **$`\overrightarrow{\Delta}=
    \left(\begin{array}{l}
-    \dfrac{\partial^2 U_x}}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}}{\partial z^2}\\
+    \dfrac{\partial^2 U_x}}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}}{\partial z^2}\\
     \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z^2}\\    
     \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2   
     \end{array}\right)`$**
@@ -147,22 +147,22 @@ visible: false
 
 ##### 3 - Définition du laplacien vectoriel à partir de la divergence et du rotationnel
 
-* Le champ de divergence $`div\,\overrightarrow{U}`$ d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$ au moins 
-  deux fois dérivable, peut être caractérisé en chacun de ses points par : 
-   * son gradient $`\overrightarrow{grad}\big(div\,\overrightarrow{U}\big)`$   
+* Le **champ de divergence $`div\,\overrightarrow{U}`$** d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$ au moins 
+  deux fois dérivable, peut être caractérisé *en chacun de ses points* par : 
+   * *son gradient $`\overrightarrow{grad}\big(div\,\overrightarrow{U}\big)`$*   
    <br>
-   $`\Longrightarrow`$ nous pouvons cronstruire le 
+   **$`\Longrightarrow`$** nous pouvons cronstruire le 
    **champ de gradient $`\overrightarrow{grad}\big(div\,\overrightarrow{U}\big)`$**
    qui est un champ vectoriel.
 
 * Cherchons les coordonnées cartésiennes de $`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)`$
 
-&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$`\color{blue}{div\,\overrightarrow{U}=\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}}`$
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$`\color{blue}{div\,\overrightarrow{U}=\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}}`$
 
 * La divergence d'un champ vectoriel est un champ scalaire.   
       Le gradient d'un champ scalaire $`f`$ est le champ vectoriel, qui s'exprime en coordonnées cartésiennes :
 
-&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$`\overrightarrow{grad}\,f=\left(
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$`\overrightarrow{grad}\,f=\left(
 \begin{array}{l}
 \dfrac{\partial f}{\partial x}\\
 \dfrac{\partial f}{\partial y}\\
@@ -179,21 +179,23 @@ $`\quad = \left(
 \dfrac{\partial}{\partial z}\left( \color{blue}{\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}} \right)
 \end{array}\right)`$
 
-&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; et nous obtenons :
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; et nous obtenons l'expression **en coordonnées cartésiennes** :
 
-$`\overrightarrow{grad}\big(div\,\overrightarrow{U}\big)`$
+**$`\overrightarrow{grad}\big(div\,\overrightarrow{U}\big)`$
 $`\quad = \left(
 \begin{array}{l}
 \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x\, \partial y}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x \,\partial z}\\
 \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y \,\partial x}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y \,\partial z}\\
 \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z \,\partial x}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z \,\partial y}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}
-\end{array}\right)`$
+\end{array}\right)`$**
+
+---------------
 
-* Le champ de rotationnel $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}`$ d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$ au moins 
-  deux fois dérivable, peut être caractérisé en chacun de ses points par : 
-   * son rotationnel $`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$   
+* Le **champ de rotationnel $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}`$** d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$ au moins 
+  deux fois dérivable, peut être caractérisé *en chacun de ses points* par : 
+   * son *rotationnel $`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$*   
    <br>
-   $`\Longrightarrow`$ nous pouvons cronstruire le 
+   **$`\Longrightarrow`$** nous pouvons cronstruire le 
    **champ de rotationnel $`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$**
    qui est un champ vectoriel.
 
@@ -229,9 +231,9 @@ $`\quad =
 \color{blue}{\dfrac{\partial U_z}{\partial y}-\dfrac{\partial U_y}{\partial z}}
 \right)\end{array}\right]`$
 
- &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Nous obtenons alors :
+ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Nous obtenons alors l'expression **en coordonnées cartésiennes** :
 
-$`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$
+**$`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$
 $`\quad =
 \left(\begin{array}{l}
 \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y\,\partial x}
@@ -246,10 +248,11 @@ $`\quad =
 -\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}
 -\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2}
 +\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y\,\partial z} \\
-\end{array}\right)`$
+\end{array}\right)`$**
 
+----------------------------------
 
-&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Un **fait important** apparaît par 
+Un **fait important** apparaît par 
 *soustraction* des composantes cartésiennes *de $`\overrightarrow{grad}\big(div\,\overrightarrow{U}\big)`$*
 *et de $`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$*
 
@@ -298,7 +301,7 @@ $`\quad = \left(\begin{array}{l}
 \end{array}\right)`$
 
 * L'ordre de dérivation n'important pas,    
-  (exemple : $`\dfrac{\partial^2}{\partial x\,\partial y}=\dfrac{\partial^2}{\partial y\,\partial x})`$,   
+$`\big(\text{exemple :}\;\dfrac{\partial^2}{\partial x\,\partial y}=\dfrac{\partial^2}{\partial y\,\partial x}\big)`$,   
   nous remarquons alors que toutes les dérivées partielles du second ordre correspondant à
   des termes croisés de coordonnées s'annulent :
 
@@ -324,7 +327,7 @@ $`\require{cancel}\quad = \left(\begin{array}{l}
 -\color{blue}{\cancel{\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y\,\partial z}}} \\
 \end{array}\right)`$
 
-* Au total nous obtenons l'expression simple :
+* Au total nous obtenons l'expression simple **en coordonnées cartésiennes** :
 
 **$`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
 -\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$**
@@ -335,13 +338,37 @@ $`\require{cancel}\quad = \left(\begin{array}{l}
 \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}
 \end{array}\right)`$**
 
-Cette combinaison particulière d'opérateurs $`\overrightarrow{grad}`$, $`\overrightarrow{rot}`$ et $`div`$
-constitue la **définition de l'opérateur Laplacien vectoriel** :
+* Nous reconnaissons l'expression cartésienne de l'opérateur laplacien vectoriel.
 
+* L'opérateur combiné $`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
+-\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$
+constitue la **définition de l'opérateur laplacien vectoriel** :   
+<br>
 **$`\large{\overrightarrow{\Delta}=\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
 -\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)}`$**
 
 
+##### 4 - Relation entre les propriétés locales d'un champ vectoriel et sa propagation
+
+* Tout champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$ (continue et au moins deux fois dérivable) 
+possède son champ $`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
+-\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$.
+
+* *Si $`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
+-\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$ vérifie l'* **équation d'onde** :   
+  <br>
+  *$`\large{\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
+-\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)}`$$`\;\;-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=0}`$*      
+  <br>
+  ou écrit avec le laplacien scalaire :   
+  <br>
+  **$`\large{\overrightarrow{\Delta}\,\overrightarrow{U}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=0}`$**      
+  <br>
+  **alors le champ vectoriel $`f`$ se propage** *à la célérité $`\mathscr{v}`$*.
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