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@@ -215,3 +215,176 @@ P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}})\; \text{plan d
 à faire
 
 
+
+#### Quelle expression du rotationnel de  $`\overrightarrow{B}`$ choisir ?
+
+* L'étude se réalise dans le repère cylindrique  $`(O, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, z)`$
+
+* $`\Longrightarrow`$ nous choisissons l'*expression en coordonnées cylindriques* du rotationnel  :   
+<br>
+**$`\begin{align}
+\mathbf{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}}
+&\boldsymbol{\mathbf{\;=\left(\dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial B_z}{\partial\varphi}\;-\;\dfrac{\partial B_{\varphi}}{\partial z}\right)\,\overrightarrow{e_{\rho}}}}\\
+\\
+&\boldsymbol{\mathbf{\quad\; +\left(\dfrac{\partial B_{\rho}}{\partial z}\;-\;\dfrac{\partial B_z}{\partial \rho}\right)\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}}\\
+\\
+&\boldsymbol{\mathbf{\quad\; +
+\,\dfrac{1}{\rho}\,\left(\dfrac{\partial (\,\rho\,B_{\varphi})}{\partial \rho}\;-\;\dfrac{\partial B_{\rho}}{\partial \varphi}\right)
+\,\overrightarrow{e_z}}}
+\end{align}`$**
+
+<!-----------------------------------
+$`\begin{align}
+&\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}=
+\dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial B_z}{\partial\varphi}\;-\;\dfrac{\partial B_{\varphi}}{\partial z}\\
+\\
+&\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}=
+\dfrac{\partial B_{\rho}}{\partial z}\;-\;\dfrac{\partial B_z}{\partial \rho}\\
+\\
+&\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{e_z}=
+\dfrac{1}{\rho}\,\left(\dfrac{\partial (\rho\,B_{\varphi})}{\partial \rho}\;-\;\dfrac{\partial B_{\rho}}{\partial \varphi}\right)
+\end{align}`$  
+------------------------>
+<!--A ADAPTER AU CHAMP MAGNETIQUE-----------
+
+**$`\mathbf{div\overrightarrow{E}=
+\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{\partial\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{\partial\,\rho}
++\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{\partial\,E_{\varphi}}{\partial\,\varphi}
++\dfrac{\partial\,E_z}{\partial\,z}}`$**
+--------------------------------------------->
+
+#### Puis-je déjà connaître la direction de $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}`$ ?
+
+* Le *théorème d'Ampère* en magnétostatique,   
+<br>
+*$`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B} = \mu_0\,\overrightarrow{j}`$*      
+<br>
+*implique* qu'en tout point de l'espace, le rotationnel du champ magnétique **$`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}`$**
+a la **même direction que** le vecteur densité volumique de courants **$`\overrightarrow{j}`$**
+
+* *Ici*, la distribution de courants étudiée est caractérisée par, en tout point de l'espace,
+un vecteur densité volumique de courants **$`\overrightarrow{j}`$ dirigé selon $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$**.
+
+* Ainsi, les composantes de $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}`$ selon $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ 
+et $`\overrightarrow{e_z}`$ sont nulles, et l'*expression du rotationnel de $`\overrightarrow{B}`$ se réduit* :   
+<br>
+**$`\boldsymbol{\mathbf{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B} = 
+\left(\dfrac{\partial B_{\rho}}{\partial z}\;-\;\dfrac{\partial B_z}{\partial \rho}\right)\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}}`$**
+
+* Bien sûr, l'expression de $`\overrightarrow{B}`$ réduite par les invariances et symétries
+de la distribution de courants permet de confirmer ce résultat, et de réduire encore
+l'expression de $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}`$.
+
+
+#### Qu'implique la direction de $`\overrightarrow{B}`$ ?
+
+
+* L'étude des symétries de la distribution de courants implique en tout point de l'espace :
+**$`\mathbf{\overrightarrow{B}=B_z(\rho)\,\overrightarrow{e_z}}`$**
+
+* $`\Longrightarrow`$ les autres composantes de champ *$`\mathbf{B_{\rho} \text{ et } B_{\varphi}}`$ sont nulles* en tout point de l'espace :
+<br>
+$`\overrightarrow{B}=B_z\,\overrightarrow{e_z}=B_z\,\overrightarrow{e_{\rho}}+0\,\overrightarrow{e_{\varphi}}+0\,\overrightarrow{e_z}`$
+  **$` \Longrightarrow\left\{
+\begin{array}{l}
+\mathbf{B_{\rho}=0} \\
+\mathbf{ B_{\varphi}=0}
+ \end{array}
+ \right.`$**
+ 
+* Si $`\mathbf{B_{\rho}=B_{\varphi}=0}`$ en tout point de l'espace $`\mathscr{E}`$, alors
+leur valeur nulle ne varie pas d'un point à un autre point voisin par translation 
+élémentaire $`d\rho`$ ou $`dz`$, ou variation élémentaire d'angle $`d\varphi`$. 
+Donc *les dérivées partiellles de $`\mathbf{B_{\rho}\text{ et }B_{\varphi}}`$ par 
+rapport à $`\mathbf{\rho\,,\,\varphi\text{ et }z}`$ sont nulles* :   
+<br>
+$`\mathbf{\forall M \in \mathscr{E}\; , \; B_{\rho}=B_z=0}`$
+  **$` \Longrightarrow\left\{
+\begin{array}{l}
+\boldsymbol{\mathbf{\dfrac{\partial B_{\rho}}{\partial\rho}=\dfrac{\partial B_{\rho}}{\partial\varphi}=\dfrac{\partial B_{\rho}}{\partial z}=0}} \\
+\boldsymbol{\mathbf{\dfrac{\partial B_{\varphi}}{\partial\rho}=\dfrac{\partial B_{\varphi}}{\partial\varphi}=\dfrac{\partial B_{\varphi}}{\partial z}=0}} \\
+ \end{array}
+ \right.`$**
+ 
+* $`\Longrightarrow`$ l'expression du *rotationnel de $`\overrightarrow{B}`$ se simplifie* en tout point de l'espace :   
+<br>
+$`\require{\cancel}\begin{align}
+\color{brown}{\mathbf{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}}}
+&\;=\left(\xcancel{\dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial B_z}{\partial\varphi}}\;-\;\xcancel{\dfrac{\partial B_{\varphi}}{\partial z}}\right)\,\overrightarrow{e_{\rho}}\\
+\\
+&\quad\; +\left(\xcancel{\dfrac{\partial B_{\rho}}{\partial z}}\;-\;\xcancel{\dfrac{\partial B_z}{\partial \rho}}\right)\,\overrightarrow{e_{\varphi}}\\
+\\
+&\quad\; +
+\,\dfrac{1}{\rho}\,\left(\dfrac{\partial (\,\rho\,B_{\varphi})}{\partial \rho}\;-\;\xcancel{\dfrac{\partial B_{\rho}}{\partial \varphi}}\right)
+\,\overrightarrow{e_z}\\
+\\
+&\boldsymbol{\mathbf{\color{brown}{\;=\dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial \,(\,\rho\,B_{\varphi})}{\partial \rho}\,\overrightarrow{e_z}}}}
+\end{align}`$
+
+! *Note* : Tu retrouves bien que les composantes du rotationnel de $`\overrightarrow{B}`$ selon $`\rho`$ et $`z`$ sont nulles,
+! comme démontré au paragraphe précédent.<br>
+! 
+! Si cette démonstration précédente est réalisée, il est alors possible d'utiliser son résultat pour écrire simùplement : <br>
+! $`\require{\cancel}\begin{align}
+! \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}
+! &\;= \,\dfrac{1}{\rho}\,\left(\dfrac{\partial (\,\rho\,B_{\varphi})}{\partial \rho}\;-\;\xcancel{\dfrac{\partial B_{\rho}}{\partial \varphi}}\right)
+! \,\overrightarrow{e_z}\\
+! &\;=\dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial \,(\,\rho\,B_{\varphi})}{\partial \rho}\,\overrightarrow{e_z}
+! \end{align}`$
+
+
+#### Qu'impliquent les invariances de  $`\overrightarrow{B}`$ ?
+
+
+* L'étude des invariances de la distribution de courants implique en tout point de l'espace :  
+**$`\boldsymbol{\mathbf{\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}(\rho)}=B_{\varphi}(\rho)\,\overrightarrow{e_\varphi}}`$** 
+
+* Dans l'espression $`\dfrac{\partial\left(\rho\,B_{\varphi}(\rho)\right)}{\partial\,\rho}`$, le terme **$`\rho\,B_{\varphi}(\rho)`$**
+est une **fonction de la seule coordonnée $`\rho`$**. l'opérateur de *dérivée partielle* $`\dfrac{\partial}{\partial\,\rho}`$
+peut être *remplacée par* l'opérateur de *dérivée totale* $`\dfrac{d}{d\rho}`$.
+
+* $`\Longrightarrow`$  le rotationnel de $`\overrightarrow{B}`$ se réécrit :   
+**$`\boldsymbol{\mathbf{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}=\dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{d\left(\rho\,B_{\varphi}\right)}{d\rho}\,\overrightarrow{e_z}}}`$**
+
+
+#### Comment remonter à l'expression de $`\overrightarrow{B}`$ ?
+
+
+* $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}=\dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{d\left(\rho\,B_{\varphi}\right)}{d\rho}`$ permet 
+l'écriture de la différentielle $`d\left(\rho\,B_{\varphi}(\rho)\right)`$* de la fonction $`\rho\,B_{\varphi}(\rho)`$ sous la forme :   
+<br>
+**$`\boldsymbol{\mathbf{d\left(\rho\,B_{\varphi}(\rho)\right)=\rho\,\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}\cdot d\rho}}`$**
+
+* L'*intégration de $`d\left(\rho\,B_{\varphi}(\rho)\right)`$ entre $`\rho=0`$ et $`\rho_M`$*, $`M=M(\rho_M\,,\varphi_M\,, z_M)`$ étant un point quelconque de l'espace donne :   
+<br>
+**$`\displaystyle\boldsymbol{\mathbf{\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,B_{\varphi}(\rho)\right)=\rho_M\,B_{\varphi}(\rho_M)-0\times B_{\varphi}(0)}}`$**
+
+* **par raisons de symétries**, *$`\mathbf{\overrightarrow{B}}`$ est nul sur l'axe $`\mathbf{Oz}`$*,     
+$`\overrightarrow{B}(\rho=0) = \overrightarrow{0} \Longrightarrow 0 \times B_{\varphi}(0)=0`$,    
+(il suffisait de montrer que le champ garde une valeur finie en $`\rho=0`$)  
+<br>
+$`\quad\Longrightarrow`$ **$`\displaystyle\boldsymbol{\mathbf{\rho_M\,B_{\varphi}(\rho_M)=\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,B_{\varphi}(\rho)\right)}}`$**
+
+* Nous obtenons alors, *en tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\,,\varphi_M\,, z_M)}`$*,    
+<br>
+**$`\left\{\begin{array}{l}
+\boldsymbol{\mathbf{\rho_M=0\Longrightarrow \overrightarrow{B}=\overrightarrow{0}}} \\
+\boldsymbol{\mathbf{\displaystyle\rho_M\gt 0 \Longrightarrow \overrightarrow{B}=\dfrac{1}{\rho_M}\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,B_{\varphi}(\rho)\right)\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}}}
+\end{array}\right.`$**
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+#### Comment faire le lien avec la distribution de courants puis en déduire $`\overrightarrow{B}`$ ?
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+À faire
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+<br>
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+#### **1 -** Fil conducteur rectiligne infini de rayon $`R`$ traversé par un courant volumique uniforme
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+À faire
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