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@@ -53,16 +53,12 @@ lessons:
 
 * **$`\mathbf{\varphi}`$** est un *angle* exprimés en radian *($`\mathbf{rad}`$)*.
 
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-
 ![](cylindrical_coordinates_definition_L1200.gif)
 
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 #### Quels sont les domaines de variation des coordonnées ?
 
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-
 ![](cylindrical_coordinates_variation_range_L1200_v2.gif)
 
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@@ -75,8 +71,6 @@ lessons:
 * $`\Longrightarrow`$
 **$`\quad\mathbf{}\left\{\begin{array}{l} \mathbf{ x=\rho\cdot\cos\varphi} \\\mathbf{ y=\rho\cdot\sin\varphi} \\\mathbf{ z=z} \\ \end{array}\right. `$**
 
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-
 ![](cylindrical_coordinates_projection.png)
 
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@@ -87,12 +81,8 @@ lessons:
 
 ##### Vecteur unitaire $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
 
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-
 ![](cylindrical_coordinates_unit_vector_phi_definition_L1200_v3.gif)
 
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-
 * Déplacement **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M"(\rho,\varphi+\Delta\varphi^+,z)}`$**<br>
  (avec $`\Delta\varphi^+=\Delta\varphi>0`$)<br>
 <br>**$`\Longrightarrow`$ direction et sens** de **$`\mathbf{\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**<br>
@@ -107,16 +97,12 @@ $`\Longrightarrow\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ : vecteur unitaire tangent en $`
 * Cas général ($`d\varphi=d\varphi^+>0`$  ou $`d\varphi^-<0`$) :<br>
 <br>**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\varphi}}}`$** *$`\displaystyle=\lim_{\Delta\varphi\rightarrow 0} \overrightarrow{MM''}`$* **$`\mathbf{=\rho_M\cdot d\varphi\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**<br>
 
-
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 ##### Vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ et $`\overrightarrow{e_z}`$
 
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 ![](cylindrical_coordinates_e-z_e-rho_unit_vector_L1200.gif)
 
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-
 * **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M'(\rho+\Delta\rho^+,\varphi,z)}`$**<br>
 **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M'''(\rho,\varphi,z+\Delta z^+)}`$** <br>
 (avec $`\Delta\rho^+=\Delta\rho>0`$ et $`\Delta z^+=\Delta z>0`$)<br>
@@ -134,14 +120,12 @@ $`\Longrightarrow`$ $`l_{\Delta\rho}=||\overrightarrow{MM'}||\quad`$ et $`\quad
  **$`\mathbf{\overrightarrow{dl_z}}`$** $`\displaystyle=\lim_{\Delta z \rightarrow 0} \overrightarrow{MM'''}`$
  **$`\mathbf{=dz \cdot \overrightarrow{e_z}}`$**.
 
-#### La base $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ est orthonormée.
+----------------------
 
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+#### La base $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ est orthonormée.
 
 ![](cylindrical_coordinates_orthogonal_base_L1200.jpg)
 
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 * $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ est la *base associée à un point $`M(\rho_M,\varphi_M,z_M)`$*.
 
 *  **$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$** est orthonormée **directe si $`(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$** est orthonormée **directe**, et *inverse dans le cas contraire*.
@@ -152,16 +136,16 @@ $`\Longrightarrow`$ $`l_{\Delta\rho}=||\overrightarrow{MM'}||\quad`$ et $`\quad
 \- n'est **pas fixe**.<br>
 \- **change d'orientation** *quand $`\varphi_M`$ varie*.
 
-#### Comment s'exprime le vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ ?
+---------------------
 
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+#### Comment s'exprime le vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ ?
 
 ![](cylindrical_coordinates_vector_OM_L1200.gif)
 
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-
 *  **$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=\rho_M\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+z_M\cdot\overrightarrow{e_z}}`$**
 
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+
 #### Que sont l'élément de longueur $`dl`$ et  vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$ ?
 
 * Un point **$`M(\rho,\varphi,z)`$** fait un **déplacement infinitésimal** jusqu'au point $`M'(\rho+d\rho,\varphi+d\varphi,z+dz)`$, avec *$`d\rho`$, $`d\varphi`$ et $`dz`$ variations infinitésimales, positives ou négatives*, des coordonnées $`\rho\;,\;\varphi\;,\;z`$.
@@ -188,6 +172,8 @@ $`\Longrightarrow`$ $`l_{\Delta\rho}=||\overrightarrow{MM'}||\quad`$ et $`\quad
 * Permet de calculer la longueur $`\mathscr{l}`$ d'une trajectoire $`L`$, lorsque les coordonnées $`\rho(t)`$, $`\varphi(t)`$ et $`z(t)`$ varient en fonction du temps de façon indépendantes les une des autres :<br>
 **$`\displaystyle\mathbf{\mathscr{l}=\int_L dl}`$**
 
+----------------------
+
 #### Qu'est-ce que la surface élémentaire associée à chaque coordonnée ?
 
 * **Element de surface $`dl_{\rho}`$**, surface élémentaire *perpendiculaire à $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$*.<br>
@@ -195,22 +181,18 @@ $`\Longrightarrow`$ $`l_{\Delta\rho}=||\overrightarrow{MM'}||\quad`$ et $`\quad
 
 ![](cylindrical_coordinates_surface_4_L1200.jpg)<br>
 
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 * **Element de surface $`dl_{\varphi}`$**, surface élémentaire *perpendiculaire à $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$*.<br>
  <br>_Utilisable, par exemple, pour calculer l'aire d'un disque centré et perpendiculaire à l'axe $`Oz`$._
 
 ![](cylindrical_coordinates_surface_2_L1200.jpg)<br>
 
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 * **Element de surface $`dl_z`$**, surface élémentaire *perpendiculaire à $`\overrightarrow{e_z}`$*.<br>
  <br>_Utilisable, par exemple, pour calculer l'aire de la section d'un cylindre contenant l'axe $`Oz`$._
 <!-- mal dit ça, "contenant" ... à changer -->
 
 ![](cylindrical_coordinates_surface_3_L1200.jpg)<br>
 
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 #### Qu'est-ce que le volume élémentaire ?