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    * *$`M_{\mathcal{E}}`$* et *$`N_{\mathcal{E}}`$*, les projections de $`M`$ et $`N`$ sur $`\mathcal{E}`$.
 
 * Note :
-   * *$`M_{\Delta}N_{\Delta}`$* la *distance* entre les points $`M_{\Delta}`$ et $`N_{\Delta}`$
-   * *$`M_{\mathcal{E}}N_{\mathcal{E}}`$* la *distance* entre les points $`M_{\mathcal{E}}`$ et $`N_{\mathcal{E}}`$
-
+   * **$`M_{\Delta}N_{\Delta}`$** la **distance** entre les points $`M_{\Delta}`$ et $`N_{\Delta}`$
+   * **$`M_{\mathcal{E}}N_{\mathcal{E}}`$** la **distance entre les points $`M_{\mathcal{E}}`$ et $`N_{\mathcal{E}}`$   
+<br> 
+   
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 ![](euclidian-4D-space-projection-on-direction-and-space_pythagore-1_L1200.gif)
 
+* Appelle **$`P`$** la **projection orthogonale** *de $`M`$ sur* la droite *$`(NN_{\mathcal{E}})`$*.
+* Le **triangle $`MNP`$** formé par les 3 points $`M\,,N\,\text{et}\,P`$ est *rectangle en P*.
+* L'*hyper-espace* étant *euclidien*, le **théorème de Pythagore** s'applique à tout triangle rectangle, et tu as :   
+<br>
+**$`\large{NM^2 = MP^2 + PN^2\quad`$**(eq.1)
+
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 ![](euclidian-4D-space-projection-on-direction-and-space_pythagore-2_L1200.gif)
 
-(projection perpendiculaire à une direction spatiale se fait sur un espace 3D)
+* Les points $`N\,,P\,,M_{\Delta}\,,N_{\Delta}`$ forment un *rectangle*, donc les distances $`NP`$ 
+  et $`M_{\Delta}\,,N_{\Delta}`$ sont égales :   *$`NP=M_{\Delta}\,,N_{\Delta}\quad`$*(eq.2)
+
+* Les points $`N\,,P\,,M_{\mathcal{E}}\,,N_{\mathcal{E}}}`$ forment un *rectangle*, donc les distances $`NP`$ 
+  et $`M_{\mathcal{E}}}\,,N_{\mathcal{E}}}`$ sont égales :   *$`NP=M_{\mathcal{E}}}\,,N_{\mathcal{E}}}\quad`$*(eq.3)
+
+* *Ainsi*, des équations 1, 2 et 3 tiu déduis :  
+  **$`\large{NM^2 = M_{\Delta}N_{\Delta}^2 + M_{\mathcal{E}}}N_{\mathcal{E}}^2}`$**
 
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