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@@ -116,15 +116,15 @@ Dans ces équations,
 
 ##### Les équations intégrales
 
+<!--
 #### Ecuaciones de Maxwell en forma integral / Equations de Maxwell intégrales / ...
 
-<!--
 $`\displaystyle\oiint_S\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}`$
 $`=\dfrac{1}{\epsilon_0} \cdot \displaystyle\iiint_{\tau\leftrightarrow S} \rho \cdot d\tau`$
 
 $`\displaystyle\oiint_S\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}=0`$
--->
-------------------------
+
+---------------------->
 
 *[ELECMAG4-20]*
 
@@ -132,6 +132,8 @@ $`\displaystyle\oiint_S\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}=0`$
 [FR] (CME)  *Théorème de Gauss* <br>
 [EN] (auto-trad) *Gauss' theorem* <br>
 
+
+
 $`\displaystyle\iiint_{\tau} div\overrightarrow{E} \cdot d\tau= \displaystyle\iiint_{\tau}
 \dfrac{\rho}{\epsilon_0} \cdot d\tau = \dfrac{1}{\epsilon_0} \cdot \iiint_{\tau} \rho 
 \cdot d\tau = \dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0} `$
@@ -226,6 +228,96 @@ $`\displaystyle\left. \dfrac{dQ}{dt}\right|_S   =\oint_S \vec{j} \cdot \vec{dS}`
 
 #### Équations de Maxwell et propagation du champ électromagnétique
 
+##### Rappel sur le phénomène de propagation dans l'espace et le temps
+
+Soit une grandeur physique (scalaire ou vectorielle) représentée par un fonction continue de l'espace et du temps (donc un champ scalaire ou un champ vectoriel dépendant du temps).
+
+Un grandeur physique se propage librement dans l'espace et le temps si aucun phénomène physique localisé dans l'espace et le temps ne vient atténuer ou amplifier, dévier ou disperser sa propagation. 
+
+Le phénomène de propagation d'une grandeur physique qui se déplace librement  à travers l'espace et le temps, est décrit mathématiquement par l'équation d'onde simple. 
+
+L'équation d'onde simple permet de calculer la valeur de la grandeur physique en tout point M de l'espace et à tout instant t.
+
+##### équation d'onde simple
+
+Pour un champ scalaire $`f(\overrightarrow{r},t)`$, l'équation d'onde simple est :
+
+$`\Delta f(\overrightarrow{r},t) - \dfrac{1}{v^2} \; \dfrac{\partial^2 \;f(\overrightarrow{r},t)}{\partial\; t^2}=0`$
+
+<!--$`\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{v_{\phi}^2} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}=0`$-->
+
+La solution générale s'écrit :
+
+$`f(\overrightarrow{r},t)=\sum_i f_i(\overrightarrow{u_i}.\overrightarrow{r}-v.t)`$
+
+Elle décrit une superposition d'ondes $`f_i`$ qui se déplacent dans les directions en sens représentées par 
+les vecteurs unitaires $`\overrightarrow{u_i}`$ à la même vitesse $`v`$ (l'espace vide étant homogène et isotrope).
+
+
+
+**Pour un champ vectoriel** $`\overrightarrow{r}(\overrightarrow{r},t)`$, l'équation d'onde simple est :
+
+$`\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{v^2} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}=0`$
+
+L'expression de l'opérateur Laplacien vectoriel $`\Delta`$ en fonction des opérateurs $`grad`$, $`div`$ et $`rot`$ est :
+
+$`\Delta =\overrightarrow{grad} \left(div\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\right)`$
+
+
+##### Equation d'onde pour le champ électromagnétique 
+
+L'idée est de calculer pour chacun des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{E}`$ 
+l'expression de son Laplacien, pour voir si une identification avec l'équation d'onde est
+réalisée.
+
+Pour établir l'expression $`\;\;\Delta \overrightarrow{E}\;\;`$, je calcule 
+$`\;\;\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)\;\;`$ puis 
+$`\;\;\overrightarrow{grad} \left(div \overrightarrow{E}\right)\;\;`$ à partir des équations
+de Maxwell :
+
+
+*  $`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
+\overrightarrow{rot} \,\left( -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)`$
+<br><br>
+En physique classique non relativiste, espace et temps sont découplés. Les coordonnées spatiales
+et la coordonnée temporelle sont indépendantes. L'ordre de dérivation ou intégration entre 
+des coordonnées spatiales et la coordonnés temporelle ne change pas le résultat, donc
+je peux écrire :
+<br><br>
+$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
+-\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\overrightarrow{rot}\overrightarrow{B}\right)`$
+<br><br>
+$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
+-\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\mu_0\;\overrightarrow{j} +
+\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\right)`$
+<br><br>
+$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)
+=-\mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +
+\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$
+<br><br>
+
+* $`\overrightarrow{grad} \left( div \; \overrightarrow{E} \right) = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\rho}{\epsilon_O} \right)`$
+
+La reconstruction de 
+$`\Delta \;\overrightarrow{E} =\overrightarrow{grad} \left(div\;\overrightarrow{E}\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)`$
+donne :
+
+$`\Delta \;\overrightarrow{E} = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\rho}{\epsilon_O} \right) + \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +
+\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$
+
+ce qui donne par identification au premier terme de l'équation d'onde :
+
+$`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \;
+\overrightarrow{grad}\left(\rho \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} `$
+
+
+Une étude de forme identique (proposée en autotest dans la partie beyond) me conduirait 
+pour le champ magnétique  $`\overrightarrow{B}`$ à l'équation de propagation :
+
+$`\Delta \overrightarrow{B}-\epsilon_0\mu_0\;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}
+{\partial t^2}=-\mu_0\;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{j}`$
+
+
 
 #### Équations de Maxwell et énergie électromagnétique