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12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/20.causes-stationary-electric-field/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -437,18 +437,15 @@ figure
 *$`\overrightarrow{dE}_{P\rightarrow M}`$* 
 $`\quad=\quad\dfrac{\dens^{1D}\cdot dl_P}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{\overrightarrow{PM}}{||\,\overrightarrow{PM}\,||^{\,3}}`$   
 <br>
-$`\hspace{2.3cm}=\quad\dfrac{\dens^{1D}\cdot R\,d\varphi}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{d\,\overrightarrow{e_d}}{d^3}`$   
-<br>
-*$`\hspace{2.3cm}=\quad\dfrac{\dens^{1D}\cdot R\,d\varphi}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{1}{d^2}\cdot \overrightarrow{e_d}`$*
-
+*$`\hspace{2.3cm}=\quad\dfrac{\dens^{1D}\cdot R\,d\varphi}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{d\,\overrightarrow{e_d}}{d^3}`$*   
 
-* Nous devons décomposer le vecteur $`\overrightarrow{e_d}`$ en fonction des vecteurs de la base cylindrique choisie, ce qui donne :<br>
-*$`\quad\overrightarrow{e_d}=-\,R\,\overrightarrow{e_{\rho}}\,+\,z_M\,\overrightarrow{e_z}`$*
+* Décomposons le vecteur $`\overrightarrow{PM} = d\,\overrightarrow{e_d}`$ en fonction des vecteurs de la base cylindrique choisie. Nous obtenons :<br>
+*$`\quad d\,\overrightarrow{e_d}=-\,R\,\overrightarrow{e_{\rho}}\,+\,z_M\,\overrightarrow{e_z}`$*
 
 
 *  Nous obtenons alors :<br>
 <br>
-**$`\boldsymbol{\mathbf{\overrightarrow{dE}_{P\rightarrow M}=\dfrac{\dens^{1D}\cdot R\,d\varphi}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{1}{d^2}}}`$
+**$`\boldsymbol{\mathbf{\overrightarrow{dE}_{P\rightarrow M}=\dfrac{\dens^{1D}\cdot R\,d\varphi}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{1}{d^3}}}`$
 $`\boldsymbol{\mathbf{\cdot\big(-\,R\,\overrightarrow{e_{\rho}}\,+\,z_M\,\overrightarrow{e_z}\big)}}`$** 
 
 
@@ -465,7 +462,7 @@ $`\boldsymbol{\mathbf{\cdot\big(-\,R\,\overrightarrow{e_{\rho}}\,+\,z_M\,\overri
   Ainsi **seule la composante $`dE_{P\rightarrow M,z}`$** $`\; = \overrightarrow{dE}_{P\rightarrow M}\cdot\overrightarrow{e_z}`$ 
   du champ électrique élémentaire selon $`z`$ **contribue au champ total $`\overrightarrow{E}_M`$** :   
   <br>
-  *$`\boldsymbol{\mathbf{\overrightarrow{dE}_{P\rightarrow M,z}=\dfrac{\dens^{1D}}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{R\,z_M}{d^2}\,d\varphi\,\overrightarrow{e_z}}}`$*
+  *$`\boldsymbol{\mathbf{\overrightarrow{dE}_{P\rightarrow M,z}=\dfrac{\dens^{1D}}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{R\,z_M}{d^3}\,d\varphi\,\overrightarrow{e_z}}}`$*
 
 * Le **champ électrique total** $`\overrightarrow{E}_M`$ en tout point $`M`$ de l'axe $`Oz`$, s'obtient en faisant 
   la *somme intégrale des $`\overrightarrow{dE}_{P\rightarrow M,z}`$* (principe de superposition appliqué 
@@ -486,11 +483,11 @@ $`\boldsymbol{\mathbf{\cdot\big(-\,R\,\overrightarrow{e_{\rho}}\,+\,z_M\,\overri
    en faisant varier *$`\varphi_P`$ entre $`0`$ et $`2\pi`$*.   
   <br>
    **$`\boldsymbol{\mathbf{E_M}}`$**
-   *$`\displaystyle\boldsymbol{\mathbf{\;=\int_{\varphi = 0}^{2\pi}\dfrac{\dens^{1D}}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{R\,z_M}{d^2}\,d\varphi}}`$*   
+   *$`\displaystyle\boldsymbol{\mathbf{\;=\int_{\varphi = 0}^{2\pi}\dfrac{\dens^{1D}}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{R\,z_M}{d^3}\,d\varphi}}`$*   
    <br>
-   $`\displaystyle\hspace{2.3cm}=\dfrac{\dens^{1D}}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{R\,z_M}{d^2}\;\underbrace{\int_{\varphi = 0}^{2\pi}\,d\varphi}_{\color{blue}{=\big[\varphi\big]_0^{2\pi}=2\pi-0}}`$   
+   $`\displaystyle\hspace{2.3cm}=\dfrac{\dens^{1D}}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{R\,z_M}{d^3}\;\underbrace{\int_{\varphi = 0}^{2\pi}\,d\varphi}_{\color{blue}{=\big[\varphi\big]_0^{2\pi}=2\pi-0}}`$   
    <br>
-   **$`\boldsymbol{\mathbf{\hspace{2.3cm}=\dfrac{\dens^{1D}}{2\epsilon_0}\cdot\dfrac{R\,z_M}{d^2}}}`$**
+   **$`\boldsymbol{\mathbf{\hspace{2.3cm}=\dfrac{\dens^{1D}}{2\epsilon_0}\cdot\dfrac{R\,z_M}{d^3}}}`$**
 
 En cours de rédaction