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12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/40.gauss-theorem-applications/25.cylindrical-charge-distributions/20.gauss-local/20.overview/cheatsheet.fr.md

+---
+title: 'Gauss local distribution cylindrique'
+published: true
+routable: true
+visible: true
+lessons:
+    -
+        slug: electrostatics-cylindrical-charge-direct-gauss-integral-local
+        order: 3
+    -
+        slug: plane-cylindrical-spherical-distribution-gauss-local-overview
+        order: 2
+---
+
+<!--Commandes Latex spécifiques-->
+$`\def\dens{\large{\varrho}\normalsize}`$
+$`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$
+$`\def\Ltau{\Large{\tau}\normalsize}`$
+$`\def\Sopen{\mathscr{S}_{\smile}}`$
+$`\def\Sclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
+$`\def\Ssclosed{\mathscr{S}_{\scriptsize\bigcirc}}`$
+$`\def\PSopen{\mathscr{S}_{\smile}}`$
+$`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
+
+!!!! *COURS EN CONSTRUCTION :* <br>
+!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com. 
+!!!! Ce cours est *en construction*, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade. <br>
+!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
+
+##### Application du théorème de Gauss local   
+------------------------------------------------------
+
+### **Distributions cylindriques de charge** 
+
+#### Comment sont-elles définies ?
+
+* La distribution de charge possède un **axe unique de révolution**.
+* Tout **plan contenant l'axe de révolution** est *plan de symétrie* pour la charge électrique.
+
+#### Quel repère de l'espace choisir ?
+
+* Repère de l'espace adapté :     
+   **Repère cylindrique  $`\mathbf{(O, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, z)}`$**       
+      avec **$`\mathbf{Oz}`$ = axe de révolution**.
+      
+#### Comment caractériser un distribution de charge à symétrie cylindrique ?
+
+* Une distribution de charge est décrite par une **densité de charge $`\dens`$**.
+      
+*  **Invariance par rotation d'angle $`\Delta\varphi`$ quelconque**  
+  **$`\mathbf{\Longrightarrow \dens}`$**$`=\require{\cancel} \dens(\rho,\xcancel{\varphi}, z)`$
+  **$`\mathbf{ =\dens(\rho, z)}`$**
+  
+<br><br>
+  
+### **Distributions cylindriques de charge,<br> invariantes par translation quelconque selon $`z`$**
+     
+#### De quelles coordonnées dépend $`\dens`$ ?
+
+* **Étude des invariances** *de la distribution de charges $`\dens`$* :
+
+![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-1-v7_L1200.gif)   
+_cylindre infini uniformément chargé en volume. Corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$.
+
+* invariance par rotation d'angle $`\Delta\varphi`$ quelconque $`\require{\cancel}\Longrightarrow \dens= \dens(\rho,\xcancel{\varphi}, z)`$
+* invariance par translation de longueur $`\Delta z`$ quelconque $`\require{cancel}\Longrightarrow \dens= \dens(\rho,\varphi, \xcancel{z})`$
+
+* *$`\mathbf{\left.\begin{array}{l}
+\overrightarrow{\dens}=\overrightarrow{\dens}\,(\rho, z) \\
+\overrightarrow{\dens}=\overrightarrow{\dens}\,(\rho, \varphi) 
+\end{array}\quad\right\}
+\,\Longrightarrow}`$* **$`\mathbf{\dens=\dens(\rho)}`$**
+
+#### De quelles coordonnées dépend  $`\overrightarrow{E}`$ ?
+
+* **L'effet** possède les *invariances de sa cause* :   
+$`\Longrightarrow`$**$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$** possède les *invariances de $`\dens`$*   
+
+* $`\mathbf{\dens=\dens(\rho)\Longrightarrow}`$**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}(\rho)}`$** 
+
+#### Comment déterminer la direction de $`\overrightarrow{E}`$ ?
+
+* *Par l'* **étude des symétries** *de la distribution de charges $`\dens`$*.
+
+![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-2-v7_L1200.gif) 
+_figure temporaire à réviser : corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$.
+
+<!-------------------------------------------------------
+* **$`\overrightarrow{E}`$** est un *vecteur polaire*.
+* *$`\mathbf{\mathcal{P}_1=}`$* **$`\mathbf{\mathcal{P}_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})}`$** est *plan de symétrie* pour  $`\dens`$.
+* *$`\mathbf{\mathcal{P}_2=}`$* **$`\mathbf{\mathcal{P}_2\,(M, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_{\rho}})}`$** est *plan de symétrie* pour  $`\dens`$.
+* *$`\mathbf{\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2=\mathcal{D}(M, \overrightarrow{e_{\rho}})}`$* 
+------------------------------------>
+
+* **En tout point $`M`$** de l'espace,
+*$`\left.\begin{array}{l} \overrightarrow{E}\;\text{vecteur polaire} \\
+P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})\; \text{plan de symétrie} \\
+P_2\,(M, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_{\rho}})\; \text{plan de symétrie}
+\end{array}\right\}\,\Longrightarrow`$* **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+
+#### Comment s'exprime  $`\overrightarrow{E}`$ en tout point de l'espace ?
+
+* Synthèse de l'étude des invariances et symétries de $`\dens`$ :   
+**En tout point $`M`$** de l'espace,   
+*$`\left.\begin{array}{l}
+\text{Invariances}\Longrightarrow\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}(\rho) \\
+\text{Symétries}\Longrightarrow\overrightarrow{E}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}
+\end{array}\right\}\,\Longrightarrow`$* **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+
+#### Quelle expression de la divergence de  $`\overrightarrow{E}`$ choisir ?
+
+* L'étude se réalise dans le repère cylindrique  $`(O, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, z)`$
+
+* $`\Longrightarrow`$ nous choisissons l'*expression en coordonnées cylindriques* de la divergence  :   
+<br>
+**$`\mathbf{div\overrightarrow{E}=
+\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{\partial\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{\partial\,\rho}
++\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{\partial\,E_{\varphi}}{\partial\,\varphi}
++\dfrac{\partial\,E_z}{\partial\,z}}`$**
+
+#### Qu'implique la direction de $`\overrightarrow{E}`$ ?
+
+* L'étude des symétries de la distribution de charge implique en tout point de l'espace :    
+**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+
+* $`\Longrightarrow`$ les autres composantes de champ *$`\mathbf{E_{\varphi} \text{ et } E_z}`$ sont nulles* 
+en tout point de l'espace :   
+<br>
+$`\overrightarrow{E}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}+0\,\overrightarrow{e_{\varphi}}+0\,\overrightarrow{e_z}`$
+  **$` \Longrightarrow\left\{
+\begin{array}{l}
+\mathbf{E_{\varphi}=0} \\
+\mathbf{ E_z=0}
+ \end{array}
+ \right.`$**
+ 
+* Si $`\mathbf{E_{\varphi}=E_z=0}`$ en tout point de l'espace $`\mathscr{E}`$, alors 
+leur valeur nulle ne varie pas d'un point à un autre point voisin par translation 
+élémentaire $`dz`$ ou variation élémentaire d'angle $`d\varphi`$.   
+Donc *les dérivées partiellles de $`\mathbf{E_{\varphi}\text{ et }E_z}`$ par rapport 
+à $`\mathbf{z\text{ et }\varphi}`$ sont nulles*.   
+$`\mathbf{\forall M \in \mathscr{E}\, , E_{\varphi}=E_z=0}`$
+  **$` \Longrightarrow\left\{
+\begin{array}{l}
+\mathbf{\dfrac{\partial E_{\varphi}}{\partial\varphi}=0 \;\;\text{ et } \;\;\dfrac{\partial E_{\varphi}}{\partial z}=0} \\
+\mathbf{\dfrac{\partial E_z}{\partial\varphi}=0 \;\;\text{ et } \;\;\dfrac{\partial E_z}{\partial z}=0}
+ \end{array}
+ \right.`$**
+ 
+* $`\Longrightarrow`$ l'expression de *la divergence de $`\overrightarrow{E}`$ se simplifie* en tout point de l'espace :   
+**$`\mathbf{div\overrightarrow{E}}`$**
+$`\require{\cancel}=\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{\partial\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{\partial\,\rho}
++\xcancel{\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{\partial\,E_{\varphi}}{\partial\,\varphi}}
++\xcancel{\dfrac{\partial\,E_z}{\partial\,z}}`$
+**$`\mathbf{\quad\quad=\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{\partial\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{\partial\,\rho}}`$**
+
+
+#### Qu'implique les invariances de  $`\overrightarrow{E}`$ ?
+
+en cours de rédaction
+
+* L'étude des invariances de la distribution de charge implique en tout point de l'espace :   
+**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}(\rho)}`$**