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12.temporary_ins/08.grad-div-rot/70.combinaisons-of-operators/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -12,23 +12,23 @@ visible: false
 
 ##### Opérateur laplacien et équation d'onde d'un champ scalaire.
 
-* Un champ scalaire $`\overrightarrow{U}`$ se propage s'il vérifie l'équation d'onde scalaire.
+* Un *champ scalaire $`\overrightarrow{U}`$ se propage* s'il vérifie l'**équation d'onde scalaire**.
   <br>
-  L'écriture générale de cette équation utilise l'opérateur lagrangien scalaire et s'écrit :   
+  L'écriture générale de cette équation *utilise l'opérateur lagrangien scalaire $`\Delta`$* et s'écrit :   
   <br>
-  $`\Delta\overrightarrow{U}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=0`$
+  **$`\Delta\overrightarrow{U}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=0`$**
 
-* Cet opérateur laplacien scalaire possède une existence en soit, indépendante de son expression dans un système
-  de coordonnées donné, de même qu'un vecteur à une existence en soit, indépendante de l'expression de ses composantes
+* Cet opérateur laplacien scalaire **$`\Delta`$ possède une existence en soit**, 
+  *indépendante de son expression dans un système de coordonnées* donné, de même qu'un vecteur à une existence en soit, indépendante de l'expression de ses composantes
   dans un système de coordonnées donné.
 
-* Exprimée en coordonnées cartésiennes, l'équation d'onde scalaire s'écrit :   
+* Exprimée **en coordonnées cartésiennes**, l'*équation d'onde scalaire* s'écrit :   
   <br>
-  $`\left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0`$
+  *$`\left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0`$*
   <br>
-  l'expression du laplacien scalaire en coordonnées cartésienne étant :   
+  l'expression du laplacien scalaire **$`\Delta`$ en coordonnées cartésienne** étant :   
   <br>
-  $`\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}`$
+  **$`\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}`$**
 
 !!! *Exemples de champs scalaires* :   
 !!! * le champ des température dans l'atmosphère terrestre.
@@ -36,23 +36,26 @@ visible: false
 
 ##### Champ scalaire et opérateur $`\overrightarrow{grad}`$
 
-* Un champ scalaire $`f`$, fonction continue et au moins une fois dérivable de l'espace, peut être
-  caractérisé en chacun de ses points par un vecteur gradient $`\overrightarrow{grad}\,f`$.   
+* Un **champ scalaire $`f`$**, fonction continue et au moins une fois dérivable de l'espace, peut être
+  caractérisé *en chacun de ses points* par un *vecteur gradient $`\overrightarrow{grad}\,f`$*.   
   <br>
-  $`\Longrightarrow`$ nous pouvons construire le champ de gradient $`\overrightarrow{grad}\,f`$ qui est un champ vectoriel.
+  **$`\Longrightarrow`$** nous pouvons construire le *champ de gradient $`\overrightarrow{grad}\,f`$* qui est un champ vectoriel.
 
-* Ce champ vectoriel $`\overrightarrow{grad}\,f`$, si $`f`$ est deux fois déribale, peut être caractérisé
-  en chacun de ses points par sa divergence $`div\,\overrightarrow{grad}\,f`$.   
+* Ce **champ vectoriel $`\overrightarrow{grad}\,f`$**, si $`f`$ est deux fois dérivable, peut être caractérisé
+  *en chacun de ses points* par sa *divergence $`div\,\overrightarrow{grad}\,f`$*.   
   <br>
-  $`\Longrightarrow`$ nous pouvons construire le champ de divergence $`\overrightarrow{grad}\,f`$ qui est un champ scalaire.
+  **$`\Longrightarrow`$** nous pouvons construire le **champ de divergence $`\overrightarrow{grad}\,f`$** qui est un champ scalaire.
 
 * Cherchons l'expression de ce champ de divergence en fonction du champ f, en coordonnées cartésiennes.
    * L'expression cartésienne du gradient d'un champ $`f`$ est :   
      $`\overrightarrow{grad}\,f=\dfrac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{e_y}+\dfrac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{e_z}`$
    * L'expression cartésienne de la divergence d'un champ $`\overrightarrow{U}`$ est :  
      $`div\,\overrightarrow{U}=\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}`$
-   <br>
-   ce qui donne au total :   
+   * La combinaison des deux expressions permet d'exprimer la 
+     *divergence du gradient de $`f`$ en coordonnées cartésiennes* :   
+     **$`div\,\overrightarrow{grad}\,f`$**$`\;= \dfrac{\partial}{\partial x}\big(\dfrac{\partial f}{\partial x}\big)+\dfrac{\partial}{\partial y}\big(\dfrac{\partial f}{\partial y}\big)+\dfrac{\partial}{\partial z}\big(\dfrac{\partial f}{\partial z}\big)`$
+     <br>
+