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@@ -420,7 +420,40 @@ figure à faire
 
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-#### lignes d'univers de deux observateurs galiléens
+#### Ligne d'univers, invariant et temps propre
+
+A faire
+
+![](euclidian-space-time-worldline-proportional-proper-time_L1200.gif)
+
+<br>
+
+#### Différence entre ligne d'univers et trajectoire classique
+
+A faire
+
+idée : pour un observateur, trajectoire ensemble des positions spatiales parcourues 
+pour un corps entre deux instants. Ne précise pas à quel instant une position de la trajectoire
+est atteinte par le corps. Nécessité classique des équations horaires.
+pour un observateur, ligne d'univers ensemble des positions spatio-temporelles parcourues par un
+corps entre de l'espace-temps parcourues entre deux positions.
+
+Figure à faire
+
+observateur galiléen 2 cas, il voit corps ganiléen et corps non galiléen.
+
+<br>
+
+#### Distorsions temporelles lorsque deux lignes d'univers se croisent deux fois
+
+A faire
+
+![](euclidian-space-time-worldline-twin-paradox_L1200.gif)
+
+<br>
+
+
+#### Lignes d'univers de deux observateurs galiléens
 
 Représentation de deux observateurs galiléens, en translation l'un par rapport à
 l'autre à la vitesse V