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@@ -689,6 +689,11 @@ Symétries et invariances $`\Longrightarrow\;`$**$` \mathbf{\overrightarrow{E}(\
 
 ##### Utiliser le théorème de superposition
 
+
+* Nous gardons la **même distribution $`\dens^{3D}`$**
+
+![](electrostatics-cylindrical-superposition-E-0-v1.jpg)   
+
 * Il s'utilise lorsque la distribution de charge peut se décomposer comme somme ou différence de distributions de charges dont les champs électriques qu'elles créent sont connus.
 
 * Ici, le **champ électrique** du *cylindre plein de même profil* (c'est l'étude du point *2*),        
@@ -705,16 +710,69 @@ est **connu** :
 
 ![](electrostatics-cylindrical-superposition-E-1-v1.jpg)   
 
-à terminer
+* La distribution de charge étudiée     
+<br>
+**$`\mathbf{\dens^{3D}(\rho)}`$**
+$`\left|\begin{array}{l}
+\dens^{3D}(\rho) = 0 &\text{   si  } \rho\le R_{int} \\
+\dens^{3D}(\rho) = A\,\rho^2  &\text{   si  } R_{int} \le \rho\le R_{ext} \\
+\dens^{3D}(\rho) = 0  &\text{   si  } \rho\gt R_{int}
+\end{array}\right.`$   
+<br>
+se décompose en.  
+<br>
+**$`\mathbf{\dens^{3D}_A(\rho)}`$**
+$`\left|\begin{array}{l}
+\dens^{3D}_A(\rho) = A\,\rho^2  &\text{   si  }  \rho\le R_{ext} \\
+\dens^{3D}_A(\rho) = 0  &\text{   si  } \rho\gt R_{ext}
+\end{array}\right.`$   
+<br>
+moins   
+<br>
+**$`\mathbf{\dens^{3D}_B(\rho)}`$**
+$`\left|\begin{array}{l}
+\dens^{3D}_B(\rho) = A\,\rho^2  &\text{   si  }  \rho\le R_{int} \\
+\dens^{3D}_B(\rho) = 0  &\text{   si  } \rho\gt R_{int}
+\end{array}\right.`$   
+<br>
+__________________________________    
+<br>
+**$`\mathbf{\dens^{3D}(\rho)=\dens^{3D}_A(\rho)-\dens^{3D}_B(\rho)}`$**
 
 ![](electrostatics-cylindrical-superposition-E-2-v1.jpg)
 
-à terminer
+* Le *théorème de superposition* permet d'exprimer $`\overrightarrow{E}`$ comme
+ le champ $`\overrightarrow{E}_A`$ créé par $`\dens^{3D}_A`$ moins le champ $`\overrightarrow{E}_B`$ créé par $`\dens^{3D}_B`$ :    
+<br>
+**$`\begin{array}{l}
+\mathbf{\dens^{3D}(\rho)=\dens^{3D}_A(\rho)-\dens^{3D}_B(\rho)} \\
+\mathbf{\hspace{0,8cm}\Downarrow\;\;\text{(th.  superposition)}} \\
+\mathbf{\hspace{0,7cm}\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}_A-\overrightarrow{E}_B}
+\end{array}`$**    
 
 ![](electrostatics-cylindrical-superposition-E-3-v1.jpg)
 
+*Dès lors,* en se rappelant que $`\overrightarrow{E}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}=E\,\overrightarrow{e_{\rho}}`$, nous obtenons :   
+
+* **Pour $`\mathbf{\rho\lt R_{int}}`$** ,    
+$`E_{\rho}(\rho)\;=E_{\rho,A}(\rho)-E_{\rho,B}(\rho)`$
+$`\;=\dfrac{A\,\rho_M^3}{4\,\epsilon_0}-\dfrac{A\,\rho_M^3}{4\,\epsilon_0}\;=0`$   
+$`\Longrightarrow`$**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}}`$**
+
+* **Pour $`\mathbf{R_{int} \le \rho \le R_{ext}}`$** ,    
+$`E_{\rho}(\rho)\;=E_{\rho,A}(\rho)-E_{\rho,B}(\rho)`$
+$`\;=\dfrac{A\,\rho_M^3}{4\,\epsilon_0}-\dfrac{A\,R_{int}^4}{4\,\epsilon_0\,\rho_M}`$
+$`\;=\dfrac{A}{4\,\epsilon_0}\cdot\left(\rho_M^3-\dfrac{R_{int}^4}{\rho_M}\right)`$   
+$`\Longrightarrow`$**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{A}{4\,\epsilon_0}\cdot\left(\rho_M^3-\dfrac{R_{int}^4}{\rho_M}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+
+* **Pour $`\mathbf{\rho\gt R_{ext}}`$** ,    
+$`E_{\rho}(\rho)`\;=E_{\rho,A}(\rho)-E_{\rho,B}(\rho)`$
+$`\;=\dfrac{A\,R_{ext}^4}{4\,\epsilon_0\,\rho_M}-\dfrac{A\,R_{int}^4}{4\,\epsilon_0\,\rho_M}`$
+$`\;=\dfrac{A}{4\,\epsilon_0}\cdot\left(\dfrac{R_{ext}^4-R_{int}^4}{\rho_M}\right)`$   
+$`\Longrightarrow`$**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{A}{4\,\epsilon_0}\cdot\left(\dfrac{R_{ext}^4-R_{int}^4}{\rho_M}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**   
+<br>
+On retrouve naturellement les résultats précédents.
 
-en cours de rédaction, à terminer
 
 <br>