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@@ -77,9 +77,11 @@ lessons:
 !! L'étude des propriétés de symétrie des vecteurs vrais et des pseudo-vecteurs sera un préalable sur le chemin de l'électromagnétisme.
 
 * Ainsi exprimée en fonction du champ d'induction magnétique $`\overrightarrow{B}`$, la loi de Biot et Savart peut prendre les **trois expressions équivalentes**, *à utiliser selon les besoins* :<br>
-<br>$`\overrightarrow{dB}_M=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\cdot\dfrac{I\cdot\overrightarrow{dl}_P\land\overrightarrow{PM}}{||\overrightarrow{PM}||^3}\quad`$
-$`,\quad\overrightarrow{dB}_M=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\cdot\dfrac{\overrightarrow{j} \cdot d\tau_P\land\overrightarrow{PM}}{||\overrightarrow{PM}||^3}\quad`$
-$`,\quad\overrightarrow{dB}_M=\dfrac{\mu_O}{4\pi}\cdot\dfrac{q_P \cdot \overrightarrow{v}\land\overrightarrow{PM}}{||\overrightarrow{PM}||^3}`$
+<br>$`\overrightarrow{dB}_M=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\cdot\dfrac{I\cdot\overrightarrow{dl}_P\land\overrightarrow{PM}}{||\overrightarrow{PM}||^3}\quad`$   
+   
+$`\overrightarrow{dB}_M=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\cdot\dfrac{\overrightarrow{j} \cdot d\tau_P\land\overrightarrow{PM}}{||\overrightarrow{PM}||^3}\quad`$   
+   
+$`overrightarrow{dB}_M=\dfrac{\mu_O}{4\pi}\cdot\dfrac{q_P \cdot \overrightarrow{v}\land\overrightarrow{PM}}{||\overrightarrow{PM}||^3}`$
 <br><br>
 
 ![](causes-magnetism-B-L1200-gif.gif)
@@ -189,7 +191,9 @@ Nous prenons un **élément de courant $`I\cdot\overrightarrow{dl}_P`$ en un poi
 ##### Expression du champ magnétique élémentaire
 
 * Calculons le **champ magnétique élémentaire** au point $`M`$ :<br>
-<br>$`\overrightarrow{dH}_M\quad=\quad\dfrac{1}{4\pi}\cdot\dfrac{I\cdot\overrightarrow{dl}_P\land\overrightarrow{PM}}{||\,\overrightarrow{PM}\,||^{\,3}}`$$`\quad=\quad\dfrac{1}{4\pi}\cdot\dfrac{I\cdot dz\,\overrightarrow{e_z}\land d\,\overrightarrow{e_d}}{d^3}`$$`\quad=\quad\dfrac{I}{4\pi}\cdot\dfrac{dz\;d}{d^3}\cdot \overrightarrow{e_z}\wedge \overrightarrow{e_d}`$
+<br>$`\overrightarrow{dH}_M\quad=\quad\dfrac{1}{4\pi}\cdot\dfrac{I\cdot\overrightarrow{dl}_P\land\overrightarrow{PM}}{||\,\overrightarrow{PM}\,||^{\,3}}`$
+$`\quad=\quad\dfrac{1}{4\pi}\cdot\dfrac{I\cdot dz\,\overrightarrow{e_z}\land d\,\overrightarrow{e_d}}{d^3}`$
+$`\quad=\quad\dfrac{I}{4\pi}\cdot\dfrac{dz\;d}{d^3}\cdot \overrightarrow{e_z}\wedge \overrightarrow{e_d}`$
 
 * Nous devons décomposer le vecteur $`\overrightarrow{e_d}`$ en fonction des vecteurs de la base cylindrique choisie, ce qui donne :<br>
 $`\quad\overrightarrow{e_d}=\cos\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}-\sin\alpha\cdot\overrightarrow{e_z}\quad`$
@@ -233,8 +237,10 @@ $`\quad\quad=\rho\cdot \dfrac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\dfrac{\r
 
   * $`\rho=d \cdot \cos\alpha\quad`$**$`\Longrightarrow\quad\dfrac{1}{d^2}=\dfrac{\cos^2\alpha}{\rho^2}`$**
 
-* Exprimé seulement en fonction de$`\alpha`$, le champ magnétique élémentaire s'écrit :<br>
-<br>**$`\overrightarrow{dH}_M`$**$`\;=\dfrac{I}{4\pi}\cdot\dfrac{dz}{d^2}\cdot\cos\alpha\cdot d\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$$`\quad=\quad\dfrac{I}{4\pi}\cdot\dfrac{\rho\cdot d\alpha}{\cos^2\alpha}\cdot\dfrac{\cos^2\alpha}{\rho^2}\cdot\cos\alpha\cdot d\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$**$`\quad=\quad\dfrac{I}{4\pi\rho}\cdot\cos\alpha\cdot d\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$**
+* Exprimé seulement en fonction de $`\alpha`$, le champ magnétique élémentaire s'écrit :<br>
+<br>**$`\overrightarrow{dH}_M`$**$`\;=\dfrac{I}{4\pi}\cdot\dfrac{dz}{d^2}\cdot\cos\alpha\cdot d\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+$`\quad=\quad\dfrac{I}{4\pi}\cdot\dfrac{\rho\cdot d\alpha}{\cos^2\alpha}\cdot\dfrac{\cos^2\alpha}{\rho^2}\cdot\cos\alpha\cdot d\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+**$`\quad=\quad\dfrac{I}{4\pi\rho}\cdot\cos\alpha\cdot d\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$**
 
 * Le fil étant rectiligne, il s'inscrit dans un plan $`\mathcal{P}`$ contenant le fil lui-même est le point $`M`$. Dès lors, un observateur au point $`M`$ peut quantifier par un angle $`\hat{A}`$ le champ sous lequel il voit le fil.<br>
 <br>Un fil infini vu depuis tout point $`M`$ est vu sous un angle $`\hat{A}=2\pi`$ qui correspond aux valeurs limites $`\alpha_1=-\dfrac{\pi}{2}`$ et $`\alpha_2=+\dfrac{\pi}{2}`$. Il est nécessaire ici de considérer l'angle $`\alpha`$ en valeur algébrique. Tout élément de courant $`I\cdot dz_P`$ du fil est observé dans une direction du plan $`\mathcal{P}`$ caractérisée par son angle $`\alpha_P\in\, ]-\infty\,,+\infty\,[`$ 
@@ -248,7 +254,9 @@ $`\quad\quad=\rho\cdot \dfrac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\dfrac{\r
 
 
 * Par intégration, l'expression du champ magnétique créé par un fil infini en tout point de l'espace (à l'exception des points situés sur le fil lui-même) est :<br>
-<br>$`\displaystyle \overrightarrow{H}=\int_{-\pi / 2}^{+ \pi / 2} \dfrac{I}{4\pi\rho}\cdot \cos\alpha \cdot d\alpha \cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$$`=\dfrac{I}{4\pi\rho}\cdot \left[ \sin\alpha \right]_{-\pi / 2}^{+\pi / 2}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$$`=\dfrac{I}{4\pi\rho}\cdot [1-(-1)] \cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}= \dfrac{I}{2\pi\rho} \cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+<br>$`\displaystyle \overrightarrow{H}=\int_{-\pi / 2}^{+ \pi / 2} \dfrac{I}{4\pi\rho}\cdot \cos\alpha \cdot d\alpha \cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+$`=\dfrac{I}{4\pi\rho}\cdot \left[ \sin\alpha \right]_{-\pi / 2}^{+\pi / 2}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+$`=\dfrac{I}{4\pi\rho}\cdot [1-(-1)] \cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}= \dfrac{I}{2\pi\rho} \cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$
 
 ##### Expression du champ magnétique total