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@@ -550,15 +550,20 @@ en tout point $`P`$ de la spire, telle que :
 figure
 
 
-* **Paramétrons le problème** avec les *grandeurs physiques intermédiaires utiles* 
+* **Paramétrons le problème** avec les *grandeurs physiques intermédiaires* que nous estimons *utiles* 
 
 figure
 
-   * la distance $`d=||\,\overrightarrow{PM}\,||`$ qui intervient dans la loi de Coulomb.
-   * le vecteur $`\overrightarrow{e_d}`$ tel que le vecteur $`\overrightarrow{PM}`$ s'écrive $`\overrightarrow{PM}=d\cdot \overrightarrow{e_d}`$
-   * l'angle $`\alpha =\widehat{OMP}`$
+ 
+   * le vecteur $`,\overrightarrow{PM}`$ se décompose en
+     **$`\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OM}=-R\,\overrightarrow{e_{\rho}+z_m\,\overrightarrow{e_z}`$**. 
+   * l'angle $`\alpha =\widehat{OMP}`$ :   
+     Les coordonnées cylindriques sont orthonormées ($`\overrightarrow{e_{\rho}\perp\overrightarrow{e_z}`$) donc
+     l'angle $`\alpha =\widehat{OMP}`$ est droit, le triangle (OMP) est rectangle en $`O`$.
+   * la *distance $`d=||\,\overrightarrow{PM}\,||`$* qui intervient dans la loi de Coulomb.  
+     le *théorème de Pythagore* appliqué au triangle (OMP) au permet d'écrire     
+     **$`d = \sqrt{(-R)^2+z_M^2}=(R^2+z_M^2)^{1/2}`$**
 
-  
 
 ##### Expression du champ électrique élémentaire
 
@@ -567,9 +572,12 @@ figure
 *$`\overrightarrow{dE}_{P\rightarrow M}`$* 
 $`\quad=\quad\dfrac{\dens^{2D}\cdot dS_P}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{\overrightarrow{PM}}{||\,\overrightarrow{PM}\,||^{\,3}}`$   
 <br>
-*$`\hspace{2.3cm}=\quad\dfrac{\dens^{2D}\cdot \rho_M\,d\varphi\,,d\rho}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{d\,\overrightarrow{e_d}}{d^3}`$*   
+$`\hspace{2.3cm}=\quad\dfrac{\dens^{2D}\cdot \rho_M\,d\varphi\,d\rho}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{\overrightarrow{PM}}{d^3}`$   
+<br>
+**$`\hspace{2.3cm}=\quad\dfrac{\dens^{2D}}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{-R\,\overrightarrow{e_{\rho}+z_m\,
+\overrightarrow{e_z}}{(R^2+z_M^2)^{3/2}}\;\rho_M\,d\varphi\,d\rho`$**
+
 
-En construction
 
 <!----------
 * Décomposons le vecteur $`\overrightarrow{PM} = d\,\overrightarrow{e_d}`$ en fonction des vecteurs de la base cylindrique choisie. Nous obtenons :<br>