@@ -516,74 +516,137 @@ _*incrémentation des secondes* sur un affichage digital du temps...)._
#### Qu'est-ce qu'un angle ?
à faire
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* Dans un plan, deux droites non parallèles se coupent en un point $`O`$.
* Ces deux droites non parallèles définissent quatre demi-droites qui partagent la même extrémité $`O`$.
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#### Comment mesurer un angle quelconque ?
***Dans un plan, deux demi-droites partageant une même extrémité** séparent le plan en *deux parties disjointes, et complémentaires* : ensemble, elle recomposent le plan.
*A l'échelle d'une feuille de papier*
* Intuitivement, ces deux demi-droites nous *apparaissent plus ou moins non parallèles*.
* L'**angle***quantifie cet écart au parallélisme*.
à faire, idées :
\- $`\equiv`$ échelle de quelques centimètres.
\- avec un rapporteur
\- unité de degré d'arc.
\- mesure au degré près.
\- permet de discerner par la mesure 360 angles différents
\- ...
#### Comment se mesure un angle quelconque ?
**Dans la vie de tous les jours*, un angle **se mesure en degré d'arc**, de **notation** " **°** ".
**Toutes les directions d'un plan*, observées depuis un points du plan, couvre un angle de **360°**.
* Le *cercle complet* couvre **360°**.
*A l'échelle d'un terrain, et jusqu'à l'horizon*
**A l'échelle d'une feuille de papier*, avec une précision de mesure de l'ordre du degré : un **rapporteur**.
à faire, idées :
\- demander aux collègues ou étudiants en génie civil
**A l'échelle d'une feuille de papier et jusqu'à l'horizon*, pour une mesure plus présice : un **goniomètre**.
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#### Combien puis-je discerner de valeurs d'angle à l'oeil nu?
à faire, idées :
\- une douzaine
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#### Qu'est-ce qu'un angle remarquable ?
C'est un *angle qui***peut se tracer sans effectuer de mesure**.
Donc pas de rapporteur, pas de goniomètre, etc
* C'est un *angle qui***peut se tracer sans effectuer de mesure** de longueur (à l'aide d'une règle ou d'un mètre) ou d'angle (à l'aide d'un rapporteur ou d'un goniomètre).
* Sa construction **nécessite seulement un élément de longueur fixe** :
* écartement entre la pointe et la mine d'un compas.
* extrémités d'une ficelle ou d'une corde tendues.
##### Que représentent les angles de 360° et de 0° ?
**Deux demi-droites de même extrémité et confondues***sépare tout plan** qui les contient en **2 parties** :
* le **plan lui-même** : correspond à l'*angle de 360°*
* une **partie vide** : correspond à l'*angle de 0°*
* L'angle de *360° divise un disque* en **1 seule part**, qui est donc le **disque complet**.
* Dans un plan, avoir une *vision à 360°* signifie pouvoir voir dans **toutes les directions du plan**.
##### Que représente l'angle de 180° ?
**Deux demi-droites de même extrémité, parallèles mais non confondues***sépare tout plan** qui les contient en **2 demi-plans** :
* À chaque **demi-plan** correspond à l'*angle de 180°*
* L'angle de *180° divise un disque* en **2 demi-disques : 2 parties d'aires égales**.
* Dans un plan, avoir une *vision à 180°* signifie pouvoir voir dans **une moitié de toutes les directions du plan**.
##### Comment diviser un angle quelconque par deux sans effectuer de mesure ?
1. $`\alpha`$ est un angle quelconque de sommet $`O`$.
2. Je trace un cercle à partir du sommet de l'angle $`\alpha`$.
3. Ce cercle intercepte les deux demi-droites aux points $`P_1`$ et $`P_2`$.
4. Je trace un cercle de centre $`P_1`$ et de rayon $`R`$ qui entoute $`O`$.
5. Je trace un cercle de même rayon $`R`$ mais de centre $`P_2`$.
6. Ces deux cercles se coupent aux points $`M_1`$ et $`M_2`$,
$`M_1`$ appartenant à la portion de plan couverte par l'angle $`\alpha`$.
8. Je trace la droite qui contient $`M_1`$ et $`M_2`$.
9. Je trace la demi-droite $`[OM_1)`$
10. Cette demi-droite $`[OM_1)`$ divise l'angle $`\alpha`$ en deux angles égaux, donc de valeurs $`\dfrac{\alpha}{2}`$.
##### Que représente l'angle de 90° ?
* L'angle de *90° divise un disque* en **4 parts d'aires égales**.
_(exemple : un gâteau en 4 parts égales)_
##### Comment construire un angle de 90° ?
* En divisant l'angle de $`180°`$ par 2.
> à terminer : donc avec quoi?
#### Quels sont les angles réalisables avec une simple feuille de papier de forme quelconque ?
* Par pliage.
##### Que représente l'angle de 45° ?
* L'angle de *45° divise un disque* en **8 parts d'aires égales**.
##### Comment construire un angle de 45° ?
* En divisant l'angle de $`90°`$ par 2.
* Par pliage.
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##### Quels sont les angles réalisables avec une simple feuille de papier de forme quelconque ?
> à faire :
> Par pliage : 360° et 0°, 180° , 90° , 45° , ...
> figure animée en cours de réalisation.
> figure animés en cours de réalisation.
#### Quels sont les angles réalisables avec un simple élément rigide de longueur quelconque?
##### Quels sont les angles réalisables avec un simple élément rigide de longueur quelconque?
à faire : idées :
avec compas ou cordelette à l'échelle de la feuille de papier
avec une corde à l'échelle d'un terrain
\- 360° et 0°, 180° , 60°
\- puis multiples 120°, 180°
\- puis sous-multiples 90° , 45° , 30°
il est toujours possible de diviser un angle par deux.
> à faire : 60° , 30° , puis multiples 90°, 120°, 150° , 180° , 210° , ...
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##### Que représente l'angle de 60° ?
1. L'angle de *60° divise un disque* en **6 parts d'aires égales**.
* L'angle de *60° divise un disque* en **6 parts d'aires égales**.
_(exemple : un gâteau en 6 parts égales)_
2. L'angle de *60° divise un plan infini* en **6 parts d'aires (infinies) égales**.
_(attention : tout surface plane réelle est limitée et non infinie. Sur la figure_
_la feuille de papier n'est pas séparée en 6 surfaces d'aires égales.)_
##### Comment construire un angle de 60° ?
_Attention : comprendre visuellement un figure ne suffit pas._
_Comprendre un concept nécessite de se le réexpliquer après quelques jours et en absence de toute figure._
_Acquérir une compétence nécessite de réaliser un projet la mettant en oeuvre après quelques jours et en absence de toute figure._
...
...
@@ -599,23 +662,32 @@ Pour un défi dans la partie "au-delà" :
##### Que représente l'angle de 30° ?
> à terminer.
1. L'angle de *30° divise un disque* en **12 parts d'aires égales**.
_(exemple : un gâteau en 12 parts égales)_
2. L'angle de *30° divise un plan infini* en **12 parts d'aires (infinies) égales**.
_(attention : tout surface plane réelle est limitée et non infinie. Sur la figure_
_la feuille de papier n'est pas séparée en 12 surfaces d'aires égales.)_
* L'angle de *30° divise un disque* en **12 parts d'aires égales**.
_(exemple : Le cadran d'une montre analogique est partagé en 12 parties égales, chacune indiquant une heure entre 1 et 12, ou 13 et 24 )_
##### Comment construire un angle de 30° ?
* En construisant un angle de $`60°`$ qui est divisé par 2.
_Attention : comprendre visuellement un figure ne suffit pas._
_Comprendre un concept nécessite de se le réexpliquer après quelques jours et en absence de toute figure._
_Acquérir une compétence nécessite de réaliser un projet la mettant en oeuvre après quelques jours et en absence de toute figure._
Pour un défi dans la partie "au-delà" :
* Tracer deux droites d'un plan, séquantes en un point et séparées par un angle de 30° :
* sur une feuille de papier avec un compas.
* sur un tableau, avec une ficelle est une craie ou un feutre.
* sur un terrain, avec une corde et un pieu.
* sur le sol, simplement avec vos deux pieds.
##### Que représente l'angle de120° ?
Pour un défi dans la partie "au-delà" :
* Tracer deux droites d'un plan, séquantes en un point et séparées par un angle de 30° :
