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@@ -423,6 +423,124 @@ matière (à travers la force de Lorentz) peut lui communiquer de l'énergie.
 * Un porteur de charge $`q_1`$ animé de la vitesse $`\overrightarrow{\mathscr{v_1}}`$ dans le référentiel d'observation et qui ressent à son endroit un champ électromagnétique $`\big(\overrightarrow{E}\,,\,(\overrightarrow{B}\big)`$ subit la force de Lorentz $`\overrightarrow{F}_{Lor}`$ :   
 <br>
 $`\overrightarrow{F}_{Lor}=q_1\,\big(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{\mathscr{v_1}}\land\overrightarrow{B}\big)`$ 
+<br>
+$`\overrightarrow{F}_{\,Lorentz}=q\Big(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{B}\Big)`$
+<br>
+&nbsp;&nbsp;où $`\overrightarrow{\speed}`$ est le vecteur vitesse de la particule dans le référentiel d'inertie de l'observation.
+
+Lors d'un déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$ de la particule dans le champ électromagnétique
+$`\big(\overrightarrow{E}\,,\overrightarrow{B}\big)`$, le travail de la force de Lorentz s'écrit :
+
+$`d\mathcal{W}_{\,Lorentz}=\overrightarrow{F}_{Lorentz}\cdot\overrightarrow{dl}`$,
+
+soit
+
+$`\begin{align}
+d\mathcal{W}_{\,Lorentz}&=q\Big(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{B}\Big)\cdot\overrightarrow{dl}\\
+&\\
+&= q\Big(\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}\Big)+ q\Big(\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}\Big)\\
+&\\
+&= q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl} + q\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big) \\
+\end{align}`$
+
+où $`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)`$ est le produit mixte de la séquence des trois vecteurs.
+
+Comme les vecteurs $`\overrightarrow{\speed}`$ et $`\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{\speed}\,dt`$ du produit mixte sont colinéaires, celui-ci
+est donc nul, 
+
+$`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$,
+
+!!!! 
+!!!! <details markdown=1>
+!!!! <summary>Rappels sur le produit mixte</summary>
+!!!! Le produit mixte de trois vecteurs $`\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c}`$, noté $`(\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c})`$
+!!!! est défini par :    
+!!!! $`(\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c})=(\vec{a}\land\vec{b})\cdot\vec{c}`$.   
+!!!! Il est alors facile de démontrer qu'il est invariant par permutation circulaire des 3 vecteurs :
+!!!! $`(\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c})=(\vec{b}\,,\vec{c}\,,\vec{a})=(\vec{c}\,,\vec{a}\,,\vec{b})`$.
+!!!! C'est donc un nombre réel, dont la valeur absolue s'identifie au volume du parallélépipéde 
+!!!! créé les trois vecteurs $`\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c}`$.
+!!!!
+!!!! Dans le cas étudié, deux vecteurs au moins du produit mixte $`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)`$
+!!!! sont colinéaires car $`\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{\speed}\,dt`$.
+!!!! Je peux dès lors m'assurer que ce produit mixte est nulle,    
+!!!! * soit en remarquant que trois vecteurs dont deux sont colinéaires s'inscrivent dans un même plan (2D)   
+!!!! et donc le volume (3D) construit par ces trois vecteurs est nul : 
+!!!! $`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$   
+!!!! * soit en utilisant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire,    
+!!!! $`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=\Big(\overrightarrow{dl},\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B}\Big)`$
+!!!! $`=dt\times\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B}\Big)`$
+!!!! et en remarquant que le produit vecoriel de deux vecteurs colinéaires est nul :
+!!!! $`\big\Vert\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{\speed}\big\Vert=\big\Vert\overrightarrow{\speed}\big\Vert\cdot\big\Vert\overrightarrow{\speed}\big\Vert\cdot \sin 0=0`$
+!!!! $`\Longrightarrow \overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{\speed}=\overrightarrow{0}`$   
+!!!! $`\Longrightarrow \Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$
+!!!! </details>
+!!!! 
+
+et le travail de la force de Lorentz se simplifie :
+
+$`\mathcal{W}_{\,Lorentz} = q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}`$
+
+! *Remarque :*
+!
+! La *force magnétique $`\overrightarrow{F}_{\,magn.}=q\,\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{B}`$*, 
+! par nature perpendiculaire au vecteur vitesse $`\overrightarrow{\speed}`$ et donc au vecteur déplacement 
+! élémentaire $`\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{\speed}\,dt`$ en tout point de la trajectoire de la particule
+! de charge $`q`$, *ne travaille pas* :
+!
+! $`\mathbf{d\mathcal{W}_{\,magn} = \overrightarrow{F}_{magn}\cdot \overrightarrow{dl}=0}`$
+!
+! *Le travail de la force de Lorentz se limite au travail de la force électrique* :
+!
+! $`\mathbf{d\mathcal{W}_{\,Lorentz} = d\mathcal{W}_{\,élec} =q\,\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}}`$
+
+La puissance cédée par le champ à cette particule s'écrit :
+
+$`\mathbf{\mathcal{P}_{cédée} = \dfrac{d\mathcal{W}_{\,Lorentz}}{dt} = q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}}`$
+
+##### Puissance cédée dans un matériau
+
+
+$`d\mathcal{P}_{cédée} = \mathcal{n}\,\big( q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}\big)\,d\tau`$
+
+$`\dens=\mathcal{n}\,q`$
+
+$`d\mathcal{P}_{cédée} = \big(\mathcal{n}\, q\big)\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}\,d\tau`$
+
+$`d\mathcal{P}_{cédée} = \dens\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}\,d\tau`$
+
+$`\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}=\overrightarrow{\speed}\cdot\overrightarrow{E}`$
+
+$`\overrightarrow{j}=\dens\,\overrightarrow{\speed}`$
+
+$`d\mathcal{P}_{cédée} = \big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau`$
+
+$`\displaystyle d\mathcal{P}_{cédée} = \sum_{i=1}^p \big(\mathcal{n}_i\,q_i\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed_i}\big)\,d\tau`$
+
+$`\displaystyle d\mathcal{P}_{cédée} = \sum_{i=1}^p \dens_i\,d\tau\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed_i}`$
+
+$`\displaystyle d\mathcal{P}_{cédée} =  \sum_{i=1}^p\overrightarrow{j_i}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau`$
+
+
+
+$`d\mathcal{P}_{cédée} = \overrightarrow{j}_{total}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau`$
+
+$`\overrightarrow{j}_{total}=\overrightarrow{j}`$
+
+$`\mathbf{d\mathcal{P}_{cédée} = \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau}`$
+
+$`\mathbf{d\mathcal{P}_{cédée} = \big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau}`$
+
+$`\displaystyle\mathbf{\mathcal{P}_{cédée} = \iiint_{\Ltau}\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau}`$
+
+$`\displaystyle\mathbf{\mathcal{P}_{cédée} = \iiint_{\Ltau}\big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau}`$
+
+
+@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
+
+
+
+
 
 * Lors d'un déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl_1}`$ de la charge, la force de Lorentz produit le travail élémentaire $`d\mathcal{W}`$ :   
 <br>