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@@ -459,7 +459,95 @@ $`d\mathcal{P}=n_1\,d\tau\,\mathcal{P}_1=n_1\, q_1\,\overrightarrow{E}\cdot }=\o
 
 #### Pourquoi parlons-nous d'ondes électromagnétiques ?
 
-à faire
+##### Equation d'onde
+
+Pour un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}(\overrightarrow{r},t)`$, l'équation d'onde de d'Alembert s'écrit :
+
+$`\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{\speed^2} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}=0`$
+
+L'expression de l'opérateur Laplacien vectoriel $`\Delta`$ en fonction des opérateurs $`grad`$, $`div`$ et $`rot`$ est :
+
+$`\Delta =\overrightarrow{grad} \left(div\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\right)`$
+
+##### Etude de la composante $`\overrightarrow{E}`$ du champ électromagnétique.
+
+L'idée est de calculer pour chacun des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{E}`$ 
+l'expression de son Laplacien, pour voir si une identification avec l'équation d'onde est
+réalisée.
+
+Pour établir l'expression $`\;\;\Delta \overrightarrow{E}\;\;`$, je calcule 
+$`\;\;\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)\;\;`$ puis 
+$`\;\;\overrightarrow{grad} \left(div \overrightarrow{E}\right)\;\;`$ à partir des équations
+de Maxwell :
+
+
+*  $`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
+\overrightarrow{rot} \,\left( -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)`$
+<br><br>
+En physique classique non relativiste, espace et temps sont découplés. Les coordonnées spatiales
+et la coordonnée temporelle sont indépendantes. L'ordre de dérivation ou intégration entre 
+des coordonnées spatiales et la coordonnés temporelle ne change pas le résultat, donc
+je peux écrire :
+<br><br>
+$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
+-\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\overrightarrow{rot}\overrightarrow{B}\right)`$
+<br><br>
+$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
+-\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\mu_0\;\overrightarrow{j} +
+\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\right)`$
+<br><br>
+$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)
+=-\mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +
+\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$
+<br><br>
+
+* $`\overrightarrow{grad} \left( div \; \overrightarrow{E} \right) = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\dens}{\epsilon_O} \right)`$
+
+La reconstruction de 
+$`\Delta \;\overrightarrow{E} =\overrightarrow{grad} \left(div\;\overrightarrow{E}\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)`$
+donne :
+
+$`\Delta \;\overrightarrow{E} = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\dens}{\epsilon_O} \right) + \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +
+\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$
+
+ce qui donne par identification au premier terme de l'équation d'onde :
+
+$`\mathbf{\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \;
+\overrightarrow{grad}\left(\dens \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}}`$
+
+_(équation de propagation du champ électrique)_
+
+Une étude de forme identique (proposée en autotest dans la partie beyond) me conduirait 
+pour le champ magnétique  $`\overrightarrow{B}`$ à l'équation de propagation :
+
+$`\mathbf{\Delta \overrightarrow{B}-\epsilon_0\mu_0\;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}
+{\partial t^2}=-\mu_0\;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{j}}`$
+
+_(équation de propagation du champ magnétique)_
+
+##### Équation de propagation dans la matière
+
+...
+
+##### Équation de propagation dans le vide
+
+ 
+ L'espace vide est caractérisé par une absence de charges, fixes ou en mouvement. 
+ La densité volumique de charge $`\dens_{vide}`$ de même que le vecteur densité volumique de courant
+ $`\overrightarrow{j}_{vide}`$ ont une valeur nulle dans tout l'espace vide,
+ 
+ $`\dens_{vide}=0\quad\text{et}\quad\overrightarrow{j}_{vide}=\overrightarrow{0}`$.
+ 
+ Dès lors, l'équation de propagation de l'onde électromagnétique dans le vide prend la forme
+ de l'équation de d'Alembert :
+ 
+$`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$
+
+$`\Delta \;\overrightarrow{B}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$
+
+
+
+
 
 
 #### Qu'est-ce que le vecteur de Poynting ?