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@@ -62,11 +62,104 @@ _Bobine torique à section rectangulaire._
 ![](ampere-etape-1.jpg)
 <br>
 
+#### Quel système de coordonnées spatiales choisir ?
+
+* Le système de coordonnées *le mieux adapté* est le système de **coordonnées cylindriques
+   $`(O,\rho,\varphi,z)`$**, 
+   avec **$`Oz =\;`$ axe de révolution**, et où :
+   * $`O`$ est le point de l'espace pris comme origine des coordonnées.
+   * $`(\rho,\varphi,z)`$ sont les coordonnées cylindriques.
+   
+  et de repère orthonormé associé le *repère cylindrique $`\mathbf{(O, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})}`$*.
+
 ![](magnetostatics-toroidal-coil-1_v4_L1200.gif)   
 _Modélisation physique d'une bobine torique à section rectangulaire._   
 _Étape 1 : détermination de la direction de B à l'aide des invariances et symétries_
 _de la distribution de courants._ $`\mathcal{P}_1`$ _est plan de symétrie._
 
+<!-----------
+#### Comment caractériser cette distribution de courant ?
+
+* Dans le cas où la *section droite* du fil conducteur placé sur l'axe $`Oz`$ est *négligée*, le **sens du courant** 
+  est simplement *indiqué par une flèche*.   
+ _(en magnétostatique, le courant est constant, donc son sens ne varie pas au cours du temps)._
+
+<!---- attention, ce qui est ici caché est faux--- refaire? avec sens choisi sur contour d'Ampère?---
+  L'**intensité $`I`$** du courant sera notée *en notation algébrique*, c'est à dire que :
+   * **$`I>0`$** si le courant parcourt le fil *vers les z croissants*.
+   * **$`I<0`$** si le courant parcourt le fil *vers les z décroissants*.
+---------------->
+
+<!--------------
+* Dans le cas contraire où la *section droite* est *non négligée*, le courant est décrit par un
+ **vecteur densité de courant $`\overrightarrow{j}`$**.
+<br>
+   * Un *courant dirigé selon l'axe de révolution* implique **$`\overrightarrow{j}=j(\rho,\varphi,z)\,\overrightarrow{e_z}`$**
+   * L'*invariance par rotation* d'angle $`\Delta\varphi`$ quelconque impose **$`\require{\cancel} \overrightarrow{j} = \overrightarrow{j}(\rho,\xcancel{\varphi}, z)`$**.   
+   * L'*invariance par translation* de longueur $`\Delta z`$ quelconque impose  **$`\require{cancel}\overrightarrow{j}= \overrightarrow{j}(\rho,\varphi, \xcancel{z})`$**.   
+<br>
+* *Au final*, le vecteur densité volumique de courant **$`\overrightarrow{j}`$** est **dirigé selon $`Oz`$** et **ne dépend que de $`\rho`$** :   
+*$`\mathbf{\left.\begin{array}{l}
+\overrightarrow{j}=j_z\,\overrightarrow{e_z}\\
+\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}\,(\rho, z) \\
+\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}\,(\rho, \varphi)
+\end{array}\quad\right\}
+\,\Longrightarrow}`$* **$`\mathbf{\overrightarrow{j}=j_z(\rho)\,\overrightarrow{e_z}}`$**   
+
+<!---- attention, ce qui est ici caché est faux--- refaire? avec sens choisi sur contour d'Ampère?---
+<br>
+* Le **signe de $`j_z(\rho)`$** indique le *sens de déplacement* du courant :
+   * **$`j_z(\rho)>0`$** si le courant parcourt le fil *vers les z croissants*.
+   * **$`j_z(\rho)<0`$** si le courant parcourt le fil *vers les z décroissants*.
+--------------------------------------------------->
+
+  
+_Un cylindre infini est, lorsqu'il est parcourue par un courant réparti uniformément dans son volume, est l'exemple le plus simple de distribution cylindrique de courant._
+
+
+
+#### De quelles coordonnées dépend $`\overrightarrow{B}`$ ?
+
+* **L'effet** possède les *invariances de sa cause* :
+$`\Longrightarrow`$**$`\mathbf{\overrightarrow{B}}`$** possède les *invariances de la distribution des courants*
+
+* $`I\text{ dans bobine torique }\Longrightarrow}`$ **$`\mathbf{\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}(\rho\,,z)}`$**
+
+
+#### Comment déterminer la direction de $`\overrightarrow{B}`$ ?
+
+* *Par l'* **étude des symétries** *de la distribution de courant $`\overrightarrow{j}`$*.   
+<br>
+
+1. Soit un **point $`M(\rho_M\,\varphi_M,z_M)`$ quelconque** de l'espace.
+2. Le **plan $`P_1`$** qui contient le point $`M`$ et l'axe $`Oz`$ est *plan de symétrie* pour la distribution de courant.
+3. Le champ magnétique **$`\overrightarrow{B}`$ étant un vecteur axial**, en tout point d'un plan de symétrie 
+   il est perpendiculaire à ce plan. Le plan de symétrie $`P_1`$ étant déterminé, la
+   *direction de $`\overrightarrow{B}`$, selon $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$*, est 
+   *totalement déterminée*.
+ 
+
+* De façon plus concise :   
+<br>
+**En tout point $`M`$** l'espace,   
+*$`\left.\begin{array}{l} \overrightarrow{B}\;\text{vecteur axial} \\
+P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})\; \text{plan de symétrie}\end{array}\right\}\,\Longrightarrow`$* 
+**$`\mathbf{\overrightarrow{B}=B_{\varphi}\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**
+
+
+<br>
+
+#### Comment s'exprime $`\overrightarrow{B}`$ en tout point de l'espace ?
+
+* Synthèse de l'étude des invariances et symétries de $`\overrightarrow{j}`$ :   
+<br>
+**En tout point $`M`$** de l'espace,
+*$`\left.\begin{array}{l}
+\text{Invariances}\Longrightarrow\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}(\rho\,,z) \\
+\text{Symétries}\Longrightarrow\overrightarrow{B}=B_{\varphi}\,\overrightarrow{e_{\varphi}}
+\end{array}\right\}\,\Longrightarrow`$* **$`\mathbf{\overrightarrow{B}=B_{\varphi}(\rho\,,z)\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**
+
+
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 ![](ampere-etape-2.jpg)
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