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@@ -168,13 +168,21 @@ warning, ... , états stationnaires résultats d'équilibres en danger, ... épu
   
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+! 
+! Le modèle poie-prédateur de Lokta Volterra
+!
+! sera peut-être un sous-chapitre indéppendant à part entière, si nécessaire.
+!
+
+<br>
+
 #### Qu'est-ce que modèle "proie-prédateur" de Lotka-Volterra ?
 
 
 ##### De combien de variables décrit-il l'évolution?
 
 * Le modèle "proie-prédateur" concerne un couple de variables réelles liées 
-  **$`\mathbf{\big(\,(X(t)\,,Y(t)\,\big)\,\in\,\mathbb{R}_+^2}`$**   
+  **$`\mathbf{\big(\,(X_1(t)\,,X_2(t)\,\big)\,\in\,\mathbb{R}_+^2}`$**   
   <br>
   Dans l'interprétation du modèle, elles **peuvent représenter** :
    * la *valeur réelle d'une grandeur physique* continue à l'instant $`t`$.
@@ -189,31 +197,31 @@ warning, ... , états stationnaires résultats d'équilibres en danger, ... épu
 ##### Quels sont les hypothèses fondatrices ?
 
 <br>
-Les variables $`X(t)`$ et $`Y(t)`$ ne jouent pas des rôles symétriques.   
+Les variables $`X_1(t)`$ et $`Y_2(t)`$ ne jouent pas des rôles symétriques.   
 L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
 
 <br>
-**Variable proie $`X(t)`$**
+**Variable proie $`X_1(t)`$**
 
 * Elle représente le *nombre de proies*.
 * **hypothèse** : Les proies disposent de *nourriture en quantité illimitée*.   
    * $`\Longrightarrow`$ **en absence de prédateur** rien ne s'oppose à un taux de croissance 
-      *$`\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+`$ proportionnel à $`X`$*, le nombre de proies,   
+      *$`\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+`$ proportionnel à $`X_1`$*, le nombre de proies,   
      conduisant à une croissance exponentielle.   
      <br>
-     **$`\large{\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+ \,=\,+\, a\, X(t)}\quad`$**, avec *$`a \gt 0`$*.
+     **$`\large{\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+ \,=\,+\, C_1\, X_1(t)}\quad`$**, avec *$`C_1 \gt 0`$*.
 
 <br>
 
-**Variable prédateur $`Y(t)`$**
+**Variable prédateur $`X_2(t)`$**
 
 * Elle représente le *nombre de prédateurs*.
 * **hypothèse** : Les prédateurs *se nourrissent uniquement de proies*.  
    * $`\Longrightarrow`$ **en absence de proie** les prédateurs meurent selon un taux de décroissance 
-      *$`\left.\dfrac{dY}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^-`$ proportionnel au nombre $`Y`$* de prédateurs,   
+      *$`\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^-`$ proportionnel au nombre $`Y`$* de prédateurs,   
      conduisant à une décroissance exponentielle.   
      <br>
-     **$`\large{\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^- \,=\,-\, c\, X(t)}\quad`$**, avec *$`c \gt 0`$*.
+     **$`\large{\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^- \,=\,-\, D_2\, X_2(t)}\quad`$**, avec *$`D_2 \gt 0`$*.
 
 <br>
 
@@ -221,22 +229,22 @@ L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
 
 * **hypothèses** : 
    * Pour **une proie**, la *probabilité d'être tuée* par un prédateur et par unité de temps 
-     est *proportionnelle à $`Y`$*,  nombre de prédateurs.
+     est *proportionnelle à $`X_2`$*,  nombre de prédateurs.
     <br>
    * Pour **un prédateur** La *probabilité de manger* une proie par unité de temps, lui permettant de survivre et de se repoduire, 
-     est *proportionnelle à $`X`$*, nombre de proies.   
+     est *proportionnelle à $`X_1`$*, nombre de proies.   
   <br>
   Cela entraîne :   
 
-   * Pour la **population $`X`$ des proies**, le *taux de décroissance $`\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^-`$* dû 
-     à la prédation est *proportionnel à $`X(t)Y(t)`$*, produit des nombres de proies et prédateurs :
+   * Pour la **population $`X_1`$ des proies**, le *taux de décroissance $`\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^-`$* dû 
+     à la prédation est *proportionnel à $`X_1(t)X_2(t)`$*, produit des nombres de proies et prédateurs :
      <br>
-     **$`\large{\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^- \,=\,-\, b\;X(t)\,Y(t)}\quad`$**, avec *$`b \gt 0`$*.   
+     **$`\large{\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^- \,=\,-\, D_1\;X_1(t)\,X_2(t)}\quad`$**, avec *$`D_1 \gt 0`$*.   
      <br>
-   * Pour la **population $`Y`$ des prédateurs**, le *taux de croissance $`\left.\dfrac{dY}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+`$* dû
-     à l'abondance de proies est *proportionnel à $`X(t)\,Y(t)`$* :   
+   * Pour la **population $`X_2`$ des prédateurs**, le *taux de croissance $`\left.\dfrac{dY}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+`$* dû
+     à l'abondance de proies est *proportionnel à $`X_1(t)\,X_2(t)`$* :   
      <br>
-     **$`\large{\left.\dfrac{dY}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+ \,=\,+\, d\;X(t)\,Y(t)}\quad`$**, avec *$`d \gt 0`$*. 
+     **$`\large{\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+ \,=\,+\, C_2\;X_1(t)\,X_2(t)}\quad`$**, avec *$`C_2 \gt 0`$*. 
 
 
 ##### Quelle est l'expression mathématique de ce modèle ?
@@ -245,20 +253,20 @@ L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
       croissante et sa composante décroissante.   
   <br>
       $`\left\{\begin{array}{l}
-      \left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}=\;\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+\;+\;\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^-\\
+      \left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}=\;\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+\;+\;\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^-\\
       \\
-      \left.\dfrac{dY}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}=\;\left.\dfrac{dY}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+\;+\;\left.\dfrac{dY}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^-
+      \left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}=\;\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+\;+\;\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^-
       \end{array}\right.`$
 
 * Les *hypothèses du modèle se traduisent par* le système d'équations différentielles :   
   <br>
       **$`\large{\left\{\;\begin{array}{l}
-      \left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}=\;\;a\;X(t)\;-\;b\;X(t)\,Y(t)\\
+      \left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}=\;\;C_1\;X_1(t)\;-\;D_1\;X_1(t)\,X_2(t)\\
       \\
-      \left.\dfrac{dY}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}=\,-\;c\;X(t)\;+\;d\;X(t)\,Y(t)
+      \left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}=\,-\;D_2\;X(t)\;+\;C_2\;X_1(t)\,X_2(t)
       \end{array}\right.}`$**    
   <br>
-      avec *$`(a\,,b\,,c\,,d)\in\mathbb{R}_+^4`$*.
+      avec *$`(C_1\,,C_2\,,D_1\,,D_2)\in\mathbb{R}_+^4`$*.
 
 
 
@@ -273,6 +281,17 @@ L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
 
 <br>
 
+Premières figures en attente
+
+![](lokta-volverra-balance-populations-1a_L1200.jpg)
+
+![](lokta-volverra-balance-populations-1b_L1200.gif)
+
+![](lokta-volverra-cyclic-populations_L1200.gif)
+
+![](lokta-volverra-vector-field_L1200.jpg)
+
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