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@@ -13,12 +13,16 @@ lessons:
        name: "LINÉAIRE : Propagation des ondes EM dans le vide"
        order: 1
 ---
-<!--non, je n'oublie pas que l'enseignement sera sur 4 niveau, et qu'il s'adressera
-à tous dans un niveau de base, et qu'ils pourront progresser dans les matières de leurs
-choix dans les niveaux supérieurs. Mais là, je dois aller au plus urgent.
-De toute façon, tout ce que je fais (cours comme structuration du cursus va être remanier dans les équipes, et avec nos partenaires
-latino-américains. Mais au moins on ne partira pas de rien, équations, exemples de figures,
-seront là pour être utilisés, ou remaniés et modifiés. -->
+
+<!--caligraphie de l'intégrale double curviligne-->
+$`\def\dens{\large{\varrho}\normalsize}`$
+$`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$
+$`\def\Ltau{\Large{\tau}\normalsize}`$
+$`\def\Sopen{\mathscr{S}_{\smile}}`$
+$`\def\Sclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
+$`\def\Ssclosed{\mathscr{S}_{\scriptsize\bigcirc}}`$
+$`\def\PSopen{\mathscr{S}_{\smile}}`$
+$`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
 
 !!!!  <details>
 !!!! <summary> Cours en construction, non validé à ce stade </summary>  
@@ -27,121 +31,41 @@ seront là pour être utilisés, ou remaniés et modifiés. -->
 !!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
 !!!! </details>
 
-<!--MétaDonnée : ... -->
+Attention !!! En période très préliminaire d'élaboration et de construction !
 
 ##### Randonnée montagne :&nbsp; _physique_
 
 ---------------------------
 
-### Propagation du champ électromagnétique dans le vide.
-
-#### Equations de Maxwell
-
-Tout point M de l'espace peut être repéré par son vecteur position $`\overrightarrow{r}=\overrightarrow{OM}`$, O étant un point fixe de l'espace pris comme origine. Tout instant peut être daté dans le temps par un nombre réel t, par rapport à une date (t=0) prise comme origine des temps.
-
-Les équations de Maxwell locales précisent les propriétés du champ électromagnétique
-$`[\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t), \overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t)]`$ créé en tout point M de l'espace et à tout instant t par une distribution continue de charge et de courant $`[\rho(\overrightarrow{r},t), \overrightarrow{j}(\overrightarrow{r},t)]`$.
-
-Les 4 équations de Maxwell sont :
-
-* $`div \overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t) = \dfrac{\rho(\overrightarrow{r},t)}{\epsilon_0}`$
-
-* $`\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t) = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t)}{\partial t}`$
-
-* $`div \overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t) = 0`$
-
-* $`\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t) = \mu_0\;\overrightarrow{j}(\overrightarrow{r},t) +
-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)}{\partial t}`$
-
-
-#### Rappel sur le phénomène de propagation dans l'espace et le temps
-
-Soit une grandeur physique (scalaire ou vectorielle) représentée par un fonction continue de l'espace et du temps (donc un champ scalaire ou un champ vectoriel dépendant du temps).
-
-Un grandeur physique se propage librement dans l'espace et le temps si aucun phénomène physique localisé dans l'espace et le temps ne vient atténuer ou amplifier, dévier ou disperser sa propagation. 
-
-Le phénomène de propagation d'une grandeur physique qui se déplace librement  à travers l'espace et le temps, est décrit mathématiquement par l'équation d'onde simple. 
-
-L'équation d'onde simple permet de calculer la valeur de la grandeur physique en tout point M de l'espace et à tout instant t.
-
-##### équation d'onde simple
-
-Pour un champ scalaire $`f(\overrightarrow{r},t)`$, l'équation d'onde simple est :
-
-$`\Delta f(\overrightarrow{r},t) - \dfrac{1}{v^2} \; \dfrac{\partial^2 \;f(\overrightarrow{r},t)}{\partial\; t^2}=0`$
+### Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide
 
-<!--$`\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{v_{\phi}^2} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}=0`$-->
 
-La solution générale s'écrit :
+#### Les équations de propagation du champ électromagnétique
 
-$`f(\overrightarrow{r},t)=\sum_i f_i(\overrightarrow{u_i}.\overrightarrow{r}-v.t)`$
+Des quatre équations de Maxwell se déduisent les équations suivantes, vérifiées en tout point de l'espace et à tout instant :
 
-Elle décrit une superposition d'ondes $`f_i`$ qui se déplacent dans les directions en sens représentées par 
-les vecteurs unitaires $`\overrightarrow{u_i}`$ à la même vitesse $`v`$ (l'espace vide étant homogène et isotrope).
-
-
-
-**Pour un champ vectoriel** $`\overrightarrow{r}(\overrightarrow{r},t)`$, l'équation d'onde simple est :
-
-$`\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{v^2} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}=0`$
-
-L'expression de l'opérateur Laplacien vectoriel $`\Delta`$ en fonction des opérateurs $`grad`$, $`div`$ et $`rot`$ est :
-
-$`\Delta =\overrightarrow{grad} \left(div\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\right)`$
-
-
-#### Equation d'onde pour le champ électromagnétique 
-
-L'idée est de calculer pour chacun des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{E}`$ 
-l'expression de son Laplacien, pour voir si une identification avec l'équation d'onde est
-réalisée.
-
-Pour établir l'expression $`\;\;\Delta \overrightarrow{E}\;\;`$, je calcule 
-$`\;\;\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)\;\;`$ puis 
-$`\;\;\overrightarrow{grad} \left(div \overrightarrow{E}\right)\;\;`$ à partir des équations
-de Maxwell :
-
-
-*  $`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
-\overrightarrow{rot} \,\left( -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)`$
-<br><br>
-En physique classique non relativiste, espace et temps sont découplés. Les coordonnées spatiales
-et la coordonnée temporelle sont indépendantes. L'ordre de dérivation ou intégration entre 
-des coordonnées spatiales et la coordonnés temporelle ne change pas le résultat, donc
-je peux écrire :
-<br><br>
-$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
--\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\overrightarrow{rot}\overrightarrow{B}\right)`$
-<br><br>
-$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
--\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\mu_0\;\overrightarrow{j} +
-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\right)`$
-<br><br>
-$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)
-=-\mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +
-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$
-<br><br>
+$`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \;
+\overrightarrow{grad}\left(\rho \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} `$
 
-* $`\overrightarrow{grad} \left( div \; \overrightarrow{E} \right) = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\rho}{\epsilon_O} \right)`$
+$`\Delta \overrightarrow{B}-\mu_0\epsilon_0\;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}
+{\partial t^2}=-\mu_0\;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{j}`$
 
-La reconstruction de 
-$`\Delta \;\overrightarrow{E} =\overrightarrow{grad} \left(div\;\overrightarrow{E}\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)`$
-donne :
+Dans un milieu matériel caractérisé par des champs non nuls de densité volumique de charge
+$`\dens(\overrightarrow{r},t)`$ et de vecteur densité volumique de courant $`\overrightarrow{j}(\overrightarrow{r},t)`$ 
+se produit une interaction réciproque permanente entre le champ électromagnétique 
+$`\big(\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)\,,\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)\big)`$
+et ces charges et courants. Ces équations de propagation du champ électromagnétique dans la matière n'ont pas la
+simple forme de l'équation de d'Alembert, et leur étude plus complexe fait l'objet d'un
+chapitre spécifique.
 
-$`\Delta \;\overrightarrow{E} = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\rho}{\epsilon_O} \right) + \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +
-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$
+Dans le vide la situation est beaucoup plus simple. En effet le vide peut être considéré comme un milieu
+homogène et isotrope caractérisé par $`\dens(\overrightarrow{r},t)=0`$ et 
+$`\overrightarrow{j}(\overrightarrow{r},t)=\overrightarrow{0}`$ 
 
-ce qui donne par identification au premier terme de l'équation d'onde :
 
-$`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \;
-\overrightarrow{grad}\left(\rho \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} `$
 
 
-Une étude de forme identique (proposée en autotest dans la partie beyond) me conduirait 
-pour le champ magnétique  $`\overrightarrow{B}`$ à l'équation de propagation :
 
-$`\Delta \overrightarrow{B}-\epsilon_0\mu_0\;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}
-{\partial t^2}=-\mu_0\;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{j}`$
 
 #### Propagation du champ électromagnétique dans le vide