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@@ -134,20 +134,40 @@ PRINCIPALES COMBINAISONS
 
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 #### Pourquoi combiner des opérateurs ?
 
-Les opérateurs $`\overrightarrow{grad},\,div`$ et $`\overrightarrow{rot}`$ caractérisent en tout point de l'espace une propriété physique importante des champs sur lesquels ils s'appliquent. Ils ont une existence en soi, plus fondamentale que leurs expressions dans 
+Les opérateurs $`\overrightarrow{grad},\,div`$ et $`\overrightarrow{rot}`$ caractérisent en tout 
+point de l'espace une propriété physique importante des champs sur lesquels ils s'appliquent. 
+Ils ont une existence en soi, plus fondamentale que leurs expressions dans 
 les différents systèmes de coordonnées.
 
 !!! *Exemples* :   
-!!! * en électrostatique le champ électrique dérive d'un champ de potentiel $ : $`\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\,V`$
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-Ce sont des opérateurs différentiels d'ordre un; leurs expressions dans les différents systèmes de coordonnées n'utilisent que des dérivées partielles spatiales du premier ordre.
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-Cependant les lois physiques se traduisent principalement par des équations différentielles d'ordre deux.
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-Les expressions vectorielles des lois physiques, utiles car indépendantes des systèmes de coordonnées, nécessitent des combinaisons de deux opérateurs
+!!! * en électrostatique $`\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\,V`$ qu'il existe une famille 
+!!! de champs scalaires $`V`$ dont le champ électrostatique $`\overrightarrow{E}`$ peut dériver.
+!!! * en électrostatique $`div\,\overrightarrow{E}=\rho_charge^{\;3D}\,/\,\epsilon_0`$ indique que
+!!! le champ électrostatique $`\overrightarrow{E}`$ converge ou diverge sur la charge électrique qui le cause.   
+!!! La charge peut aussi apparaître comme une propriété du champ électrostatique.
+!!! * en magnétostatique, $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{H}=\overrightarrow{j}^{3D}`$ indique
+!!! que les lignes de champ d'excitation magnétique $`,\overrightarrow{H}`$ s'enroule autour de l'élément de courant 
+!!! $`\overrightarrow{j}^{3D}`$ qui le créé dans le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{j}^{3D}`$.
+
+Ce sont des opérateurs différentiels d'ordre un : leurs expressions dans les différents systèmes 
+de coordonnées n'utilisent que des dérivées partielles spatiales du premier ordre.
+
+Cependant les lois physiques se traduisent principalement par des équations différentielles d'ordre deux : 
+leurs expressions dans les différents systèmes  de coordonnées n'utilisent que des dérivées partielles 
+spatiales et temporelles du second ordre.
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+!!! *Exemples* :  en coordonnées cartésiennes $`(x,y,z)`$,
+!!! * la propagation d'une onde plane progressive monochromatique $`\Phi`$ dans un milieu homogène et isotrope se propageant vers les x positifs
+!!! selon la loi 
+!!! $`\dfrac{\partial^2 \Phi(x,t)}{\partial x^2}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\,-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\,\dfrac{\partial^2 \Phi(x,t)}{\partial t^2}`$.
+!!! * L'équation de diffusion d'une grandeur physique de densité $`\Phi(x,y,z,t)`$ s'écrit
+!!! $`\displaystyle\dfrac{\partial \Phi(\vec{r},t)}{\partial t}=\sum_{x_i=1}^3\sum_{x_j=1}^3\dfrac{\partial)}{\partial x_i}\Big[\mathscr{D}(\Phi,\vec{r}\dfrac{\partial \Phi(\vec{r},t)}{\partial x_j}]`$
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+Ainsi les expressions vectorielles des lois physiques, utiles car indépendantes des systèmes de coordonnées, 
+nécessitent deux combinaisons successives de deux opérateurs du premier ordre pour obtenir un opérateur du second ordre.
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 #### Quelles sont les combinaisons possibles ?