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@@ -51,8 +51,20 @@ PRINCIPALES COMBINAISONS
 
    * Définition de l'opérateur laplacien scalaire :  
      $`\mathbf{\Delta=div\big(\overrightarrow{grad}\big)}`$ 
-   
-
+ 
+   * Utilité en physique :   
+     * équation d'onde (ou équation de d'Alembert) :   
+       $`\Delta\,\phi-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}=0`$
+     * équation de Poisson :   
+       $`\Delta\,\phi-f=0\quad`$, avec $`f`$ champ scalaire.
+     * éuqtaion de Laplace :   
+       $`\Delta\,\phi=0`$
+
+   * Expression en coordonnées cartésiennes :   
+     $`\Delta\,\phi=\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}`$
+     et expression avec l'opérateur nabla $`\nabla`$ :   
+     $`\Delta\,\phi=\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{\nabla}\,\phi`$
+  
    ---
    
    *Laplacien $`\Delta\,\overrightarrow{U}`$ d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$*
@@ -66,9 +78,9 @@ PRINCIPALES COMBINAISONS
 
    * Expression en coordonnées cartésiennes de base unitaire $`(\vec{e_x}\,,\,\vec{e_y}\,,\,\vec{e_z})`$ :   
      $`\Delta\,\overrightarrow{U}=\left(\begin{array}{l}
-     \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}\\
-     \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}\\
-     \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2}
+     \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}\\
+     \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z^2}\\
+     \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}
      \end{array}\right)`$   
      et expression avec l'opérateur nabla $`\nabla`$ :   
      $`\Delta\,\overrightarrow{U}=\left(\begin{array}{l}
@@ -85,7 +97,11 @@ PRINCIPALES COMBINAISONS
    * <details markdown=1>
       <summary>Expressions en coordonnées cylindriques et sphériques</summary>
       * dans la base cylindrique unitaire $`(\vec{e_{\rho}}\,,\,\vec{e_{\phi}}\,,\,\vec{e_z})`$ :   
-      
+       $`\Delta\,\overrightarrow{U}=\left(\begin{array}{l}
+         \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}\\
+         \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}\\
+         \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2}
+     \end{array}\right)`$   
       * dans la base sphérique unitaire $`(\vec{e_r}\,,\,\vec{e_{\theta}}\,,\,\vec{e_{\phi}})`$ :
       </details>