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@@ -433,9 +433,9 @@ $`\mathbf{d\phi=\left.\dfrac{\partial \phi}{\partial \alpha}\right|_M\cdot dl_{\
 
 La comparaison terme à terme de ces deux expressions de $'d\phi`$ donne :
 
-$`X_{\alpha}=\dfrac{\partial \phi}{\partial \alpha}\,\dfrac{\partial \alpha}{\partial dl_{\alpha}}`$ ,   
-$`X_{\beta}=\dfrac{\partial \phi}{\partial \beta}\,\dfrac{\partial \beta}{\partial dl_{\beta}}`$ , 
-$`X_{\alpha}=\dfrac{\partial \phi}{\partial \gamma}\,\dfrac{\partial \gamma}{\partial dl_{\gamma}}`$
+$`X_{\alpha}=\dfrac{\partial \phi}{\partial \alpha}\,\dfrac{\partial \alpha}{\partial dl_{\alpha}}\quad`$,  
+$`\quad X_{\beta}=\dfrac{\partial \phi}{\partial \beta}\,\dfrac{\partial \beta}{\partial dl_{\beta}}\quad`$,
+$`\quad X_{\alpha}=\dfrac{\partial \phi}{\partial \gamma}\,\dfrac{\partial \gamma}{\partial dl_{\gamma}}`$
 
 Soit
 
@@ -446,28 +446,23 @@ $`\color{brown}{\mathbf{
 +\dfrac{\partial \gamma}{\partial dl_{\gamma}}\,\dfrac{\partial \phi}{\partial \gamma}\,\overrightarrow{e_{\gamma}}
 }}`$
 
+##### Expression du gradient en coordonnées cartésiennes
 
+$`\left.\begin{align}
+dl_x=dx \Longrightarrow $`\dfrac{\partial x}{\partial dl_{x}}=1\\
+dl_y=dy \Longrightarrow $`\dfrac{\partial y}{\partial dl_{y}}=1\\
+dl_z=dz \Longrightarrow $`\dfrac{\partial z}{\partial dl_{z}}=1\\
+\end{align}\right\}`$
+$`\Longrightarrow\color{brown}{\mathbf{\overrightarrow{grad}\,\phi=
+\dfrac{\partial \phi}{\partial x}\,\overrightarrow{e_x}
++\dfrac{\partial \phi}{\partial y}\,\overrightarrow{e_y}
++\dfrac{\partial \phi}{\partial z}\,\overrightarrow{e_z}
+}}`$
 
 
-
-À ces coordonnées je peux associer les vecteurs géométriques unitaires
-
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-
-définie
-
-si d'un point quelconque $`M`$ dans l'espace, de coordonnées $`(\alpha_M\,,\beta_M\,,\gamma_M)`$
-je fais un déplacement correspondants aux variations de coordonnées $`d\alpha, d\beta \text{ et } d\gamma`$,
-
-
-$`dV=\left.\dfrac{\partial V}{\partial \alpha}\right|_M\cdot dl_{\alpha} + \left.\dfrac{\partial V}{\partial \beta}\right|_M\cdot dl_{\beta} + \left.\dfrac{\partial V}{\partial \gamma}\right|_M\cdot dl_{\gamma}`$
-
-$`dV=\left.\dfrac{\partial V}{\partial x}\right|_M\cdot dl_x + \left.\dfrac{\partial V}{\partial y}\right|_M\cdot dl_y + \left.\dfrac{\partial V}{\partial z}\right|_M\cdot dl_z`$
-
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-##### Expression du gradient en coordonnées cartésiennes
+   * $`dl_x=dx \Longrightarrow $`\dfrac{\partial x}{\partial dl_{x}}=1`$
+   * $`dl_y=dy \Longrightarrow $`\dfrac{\partial y}{\partial dl_{y}}=1`$
+   * $`dl_z=dz \Longrightarrow $`\dfrac{\partial z}{\partial dl_{z}}=1`$
 
 ##### Expression du gradient en coordonnées cylindriques