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@@ -41,17 +41,26 @@ RÉSUMÉ<br>
 
   *xxx* :
 
-
+<!-----------
+* L'accroissement naturel $`\Delta N`$ d'une population à partir d'une date initiale $`t`$ et sur une 
+  durée $`\Delta t`$ tel qu'un nouveau membre n'est pas lui-même l'âge de se reproduire, est proportionnel 
+  à l'effectif $`N(t)`$ de la population à l'instant initial $`t`$ :   
+  <br>
+  $`\left.\dfrac{dN}{dt}\right\lvert_{\,\bigt} \,=\,\underbrace{\propto N(t)}_{\text{proportionnel à N(t)}}`$   
+  <br>
+  avec $`\Delta t`$ inférieur à l'âge de reproduction.
+--------------->
 
 ##### Le modèle à taux de croissance constant : modèle exponentiel
 
 * $`N(t)`$ : Nombre d'individus à l'instant $`t`$ dans une population $`\mathscr{P}`$
 
+
 * L'accroissement naturel $`dN`$ d'une population entre une date initiale $`t`$ et sur une 
   durée infinitésimale $`dt`$ est proportionnel à l'effectif $`N(t)`$ de la population 
   à l'instant $`t`$ :   
   <br>
-  $`\left.\dfrac{dN}{dt}\right\lvert_{\,\bigt} \,=\,\underbrace{\propto N(t)}_{\text{proportionnel à N(t)}}`$
+  $`\left.\dfrac{dN}{dt}\right\lvert_{\,\bigt} \,=\,\underbrace{\propto N(t)}_{\text{proportionnel à N(t)}}`$   
   <br>
    Notons $`r(t)`$ et appelons taux de croissance par individu de la population le coefficient de proportionnalité :   
   <br>
@@ -61,7 +70,22 @@ RÉSUMÉ<br>
   <br>
   $`\left.\dfrac{dN}{dt}\right\lvert_{\,\bigt} \,=\,r\, N(t)`$  
 
-* 
+* Calculons l'effectif $`N(t_2)`$ de $`\mathscr{P}`$ à une date $`t_2`$ connaissant l'effectif $`N(t_2)`$ à une date $`t_1`$ :   
+  <br>
+  $`\displaystyle\begin{align}
+   \left.\dfrac{dN}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}=r\,N(t)\quad&\Longrtightarrow\quad
+   \left.\dfrac{dN}{N}\right\lvert_{\,\bigt}=r(t)\,dt`$\\
+   \\
+   &\Longrtightarrow\quad
+   \int_{t_1}^{t_2}\dfrac{dN}{N}=\int_{t_1}^{t_2} r(t)\,dt`$\\
+   \\
+   &\Longrtightarrow\quad
+   \int_{t_1}^{t_2}\underbrace{\dfrac{dN}{N}}_{\text{de primitive }ln\,|N|}=\int_{t_1}^{t_2} r(t)\,dt`$
+   end{align}
+
+
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