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 ### Combinaisons d'opérateurs
 
+
+PRINCIPALES COMBINAISONS
+: ---
+
+Soient $`\overrightarrow{U} un champ vectoriel, et $`\phi`$ un champ scalaire.
+
+* $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{grad}\,\phi=\overrightarrow{0}`$
+* div\,\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}=0`$
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+  ---
+  
+*Définition de l'opérateur laplacien scalaire*
+
+$`\large{\Delta}=div\;\overrightarrow{grad}`$
+
+  ---
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+*Définition de l'opérateur laplacien vectoriel*
+
+$`\overrightarrow{\Delta}=\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
+-\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$
+
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+
+
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+  *Définition du gradient* :
+  
+  Soit $`\phi`$ un champ scalaire.   
+  En un point quelconque de l'espace, un déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$ induit
+  une variation élémentaire $`d\phi`$ de la valeur du champ.   
+  
+  Le vecteur $`\overrightarrow{grad}\,\phi`$ réalise ne lien entre $`d\phi`$ et $`\overrightarrow{dl}`$ au point considéré :
+  
+ $`\mathbf{d\phi=\overrightarrow{grad}\,\phi\cdot\overrightarrow{dl}}`$
+ 
+ *Expressions du gradient*
+ 
+   Coordonnées cartésiennes :   
+   $`\begin{align}
+   \overrightarrow{grad}\,\phi &=\dfrac{\partial \phi}{\partial x}\,\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial \phi}{\partial y}\,\overrightarrow{e_y}+\dfrac{\partial \phi}{\partial z}\,\overrightarrow{e_z} \\
+    &=\overrightarrow{\nabla}\,\phi
+    \end{align}`$
+    
+     avec opérateur nabla :
+     $`\overrightarrow{\nabla}=\dfrac{\partial}{\partial x}\,\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial}{\partial y}\,\overrightarrow{e_y}+\dfrac{\partial}{\partial z}\,\overrightarrow{e_z}`$
+
+   Coordonnées cylindriques :   
+   $`\overrightarrow{grad}\,\phi=\dfrac{\partial \phi}{\partial \rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}+\dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial \phi}{\partial \varphi}\,\overrightarrow{e_{\varphi}}+\dfrac{\partial \phi}{\partial z}\,\overrightarrow{e_z}`$
+
+   Coordonnées sphériques :   
+   $`\overrightarrow{grad}\,V=\dfrac{\partial \phi}{\partial r}\,\overrightarrow{e_r}+\dfrac{1}{r}\,\dfrac{\partial \phi}{\partial \theta}\,\overrightarrow{e_{\theta}}+\dfrac{1}{r\,sin\,\theta}\,\dfrac{\partial \phi}{\partial \varphi}\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+ 
+  *Champ de gradient d'un champ scalaire* :  
+  
+  L'ensemble des vecteurs gradients en tout point de l'espace est un champ vectoriel, appelé champ de gradient
+  
+  *Opérateur gradient*
+  
+  L'opérateur $`\overrightarrow{grad}`$, appliqué à un champ scalaire $`\phi`$ et en un point de l'espace, donne
+  le vecteur $`\overrightarrow{grad}\,\phi`$
+  
+  ---
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+
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 **POUR L'ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION**