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@@ -31,7 +31,12 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
 !!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
 
 
-### **Distributions cylindriques de charge** 
+### **Distributions cylindriques de charge  :** 
+
+#### Comment sont-elles définies ?
+
+* La distribution de charge possède un **axe unique de révolution**.
+* Tout **plan contenant l'axe de révolution** est *plan de symétrie* pour la charge électrique.
 
 #### Quel repère de l'espace choisir ?
 
@@ -43,12 +48,12 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
 
 * Une distribution de charge est décrite par une **densité de charge $`\dens`$**.
       
-*  **Invariance par rotation d'angle $`\Delta\varphi`$ quelconque** autour de l'axe de révolution $`Oz`$   
+*  **Invariance par rotation d'angle $`\Delta\varphi`$ quelconque**  
   **$`\mathbf{\Longrightarrow \dens}`$**$`=\require{\cancel} \dens(\rho,\xcancel{\varphi}, z)`$**$`\mathbf{ =\dens(\rho, z)}`$**
-
+  
 <br><br>
-
-### **Distribution cylindrique de charge, invariante par translation quelconque selon $`z`$**
+  
+### **Distributions cylindriques de charge,<br> invariantes par translation quelconque selon $`z`$**
      
 #### De quelles coordonnées dépend $`\dens`$ ?
 
@@ -136,8 +141,19 @@ $`\displaystyle\quad= E  \iint_{\mathcal{S}_{lat}} \rho\,d\varphi\,dz`$
 
 **$`\mathbf{\quad\quad\;\,= 2\pi \rho\,h\, E}`$**
 
-#### Comment calculer la charge $`Q_{int}`$ à l'intérieur de $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$ ?
+#### Comment calculer la charge $`Q_{int}`$,  puis en déduire $`\overrightarrow{E}`$ ?
+
+* **Les résultats précédents**   
+   * $`\overrightarrow{E}(\rho, \varphi, z)=E(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}`$   
+   * $`\Phi_E^{\mathcal{S}_G}= 2\pi \rho\,h\, E`$ , avec $`\Phi_E`$ le flux de $`\overrightarrow{E}`$ à travers $`{\mathcal{S}_G}`$
+   
+   sont *commun à toutes les distributions* de charge à symétrie cylindrique invariantes par translation selon $`Oz`$.
+
+* Le **calcul de $`Q_{int}`$** puis **de $`\overrightarrow{E}`$** nécessitent de *connaître l'expression mathématique pour $`\dens`$* en chaque point de l'espace.    
+<br>
+$`\Longrightarrow`$ *différentes distributions de charge sont étudiées* dans la suite.
 
+##### Calcul de la charge $`Q_{int}`$
 
 *  $`Q_{int}`$ est la charge contenue à l'intérieur de $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$
 
@@ -145,11 +161,36 @@ $`\displaystyle\quad= E  \iint_{\mathcal{S}_{lat}} \rho\,d\varphi\,dz`$
    *   **$`\mathbf{\tau_G}`$** *volume intérieur* à $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$.
    *   **$`\mathbf{d\tau}`$** est l'*élément de volume*.
 
+##### Calcul de $`\overrightarrow{E}`$
+
+* Il *résulte de la synthèse des résultats* précédents.
+
+* L'**égalité entre les deux termes** du théorème de Gauss *donne la composante $`E`$* du champ $`\overrightarrow{E}=E\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$ en tout point de l'espace :   
+<br>
+$`\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}`$
+**$`\mathbf{=\dfrac{1}{\epsilon_0}}`$**  *$`\,Q_{int}`$* **$`\quad\Longrightarrow\mathbf{\text{ expression de }E}`$**.  
+<br>
+Ne pas oublier le terme $`\dfrac{1}{\epsilon_0}`$.
+
+* L'écriture complète s'écrit **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E\;\overrightarrow{e_{\rho}}}`$** *en remplaçant sa composante $`E`$ par son expression*.
+
+
+<!--===============pour partie principale?==============
+* Les symétries et invariances de $`\dens`$ ont donné en tout point $`M=M\,(\rho, \varphi, z)`$ de l'espace la direction de $`\overrightarrow{E}`$ sous la forme d'une amplitude $`E`$ et du vecteur unitaire $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ :   
+<br>
+$`\overrightarrow{E},(\rho, \varphi, z)=E\;`\overrightarrow{e_{\rho}}`$
+
+* Une surface de Gauss contenant $`M`$ et adaptée a permis de calculer une expression simple pour le flux $`\overrightarrow{E}`$ à travers elle-même.
+
+* La charge totale $`Q_{int}`$ de la surface de Gauss a été évalué pour toute position de $`M`$.
+========================================-->
+
 <!-----trop général et confus, si amélioré, pour une partie principale------------
 * En genéral, il n'y a pas de fonction mathématique décrivant la densité volumique de charge $`\dens^{3D}`$ sur tout l'espace.
     * Il y a un nombre entier $`n`$ de fonctions mathématiques différentes décrivant $`\dens^{3D}`$ et qui correspondent à $`n`$ sous-espaces complémentaires de l'espace $`\mathscr{E}`$.
     * Il y a un nombre entier $`n`$ de fonctions mathématiques parfois identiques décrivant $`\dens^{3D}`$ et qui correspondent à $`n`$ sous-espaces complémentaires de l'espace $`\mathscr{E}`$ séparés par des surfaces 2D caractérisées par une densité surfacique $`\dens^{2D}`$ de charge.
 ----------------------------------------------->
+<br>
 
 #### 1 ) Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en volume
 
@@ -221,9 +262,55 @@ $`\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{ext}`$ _tel que_  $`\dens=0`$ _et_ $`\rho\gt R`$.
    <br>
 **$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}= \dens^{3D}_0\times \pi\,R^2\,h}\quad`$**  _(pour $`\rho\gt R)`$_
 
-<!--============================================-->
+##### Calcul de $`\overrightarrow{E}`$
+
+La synthèse des résultats donne :
+
+* **Pour $`\mathbf{\rho\le R}`$**,    
+donc à l'*intérieur du cylindre chargé* :   
+<br>
+$`\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=`$
+**$`\mathbf{2\pi \rho\,h\, E}`$**
+$`\;=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}`$
+**$`\mathbf{\;=\dens^{3D}_0\times \pi\,\rho^2\,h}`$**   
+<br>
+Au final :  
+$`\left.\begin{array}{l}
+\overrightarrow{E}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}=E\,\overrightarrow{e_{\rho}} \\
+2\pi \rho\, h\,E= \pi\,\rho^2\,h\, \dens^{3D}_0
+\end{array}\right\}
+\Longrightarrow`$
+**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho\,\dens^{3D}_0}{2\,\epsilon_0}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+
+
+* **Pour $`\mathbf{\rho\gt R}`$**,   
+donc à l'*extérieur du cylindre chargé* :    
+<br>
+$`\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=`$
+**$`\mathbf{2\pi \rho\,h\, E}`$**
+$`\;=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}`$
+**$`\mathbf{\;=\dens^{3D}_0\times \pi\,R^2\,h}`$**   
+<br>
+Au final :   
+$`\left.\begin{array}{l}
+\overrightarrow{E}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}=E\,\overrightarrow{e_{\rho}} \\
+2\pi \rho\,h\, E= \pi\,R^2\,h\, \dens^{3D}_0
+\end{array}\right\}
+\Longrightarrow`$
+**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{R^2\,\dens^{3D}_0}{2\,\epsilon_0\,\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+
+* *Remarques :* **$`\overrightarrow{E}=0`$ sur l'axe de révolution** $`\Delta`$ du cylindre, 
+*en accord avec les symétries* en tout point de cet axe :   
+<br>
+   $`\forall M \in \Delta`$ :   
+   $`\left.\begin{array}{l} \overrightarrow{E}\;\text{vecteur polaire} \\
+P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})\; \text{plan de symétrie} \\
+\text{tous les plans contenant }\Delta \text{ sont plans de symétrie} 
+\end{array}\right\}\,\Longrightarrow`$$`\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}`$
+
+<br><br>
 
-##### _2 )_ Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé non uniformément en volume
+#### _2 )_ Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé non uniformément en volume
 
 * description de $`\dens`$ :
 
@@ -305,3 +392,9 @@ et introduire le phénomène d'influence qui est au programme un peu plus tard,
 
 
 
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