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Update 12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/40.gauss-theorem-applications/25.cylindrical-charge-distributions/20.gauss-local/20.overview/cheatsheet.fr.md

12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/40.gauss-theorem-applications/25.cylindrical-charge-distributions/20.gauss-local/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -54,19 +54,24 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
 ##### Application du théorème de **Gauss local** aux  
 
 
-### **Distributions de charge à symétrie cylindrique**
+### **Distributions cylindriques de charges**
 
-#### Comment sont-elles définies ?
+* Le terme **cylindrique** réfère à l'*aspect extérieur* de la distribution de charges.
 
-* Ici définie, une distribution de charge à symétrie cylindrique *possède* deux symétries,
+#### Propriétés nécessaires au théorème de Gauss
+
+* Le théorème de Gauss sera utilisable si une distribution cylindrique de charges possède les deux éléments de symétrie suivants :
    * une *symétrie de révolution*
    * une **symétrie de translation**   
   
   *autour* et **selon** un même axe, *l'axe de révolution*.
 
+<!---------un peu inutile ici---------
 ! *rappel* : un axe de *révolution* est un axe de *rotation d'ordre infini*.
 
-* Tout **plan contenant l'axe de révolution** est *plan de symétrie* pour la charge électrique.
+* La cause du champ $`\overrightarrow{E}`$ (la charge électrique) étant un scalaire, tout plan contenant l'axe de révolution est plan de symétrie pour la charge électrique.
+------------------------------------->
+
 
 #### Quel système de coordonnées spatiales choisir ?
 
@@ -77,14 +82,14 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
    
   et de repère orthonormé associé le *repère cylindrique $`\mathbf{(O, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})}`$*.
 
-#### Comment caractériser un distribution de charges à symétrie cylindrique ?
+#### Comment caractériser cette distribution de charges ?
 
-* La distribution de charges est décrite par une **densité de charge $`\dens=\dens(\rho,\varphi,z)`$**.
+* La distribution de charges est décrite par une **densité de charges $`\dens=\dens(\rho,\varphi,z)`$**.
 <br>
    * L'*invariance par rotation* d'angle $`\Delta\varphi`$ quelconque impose **$`\require{\cancel}\dens= \dens(\rho,\xcancel{\varphi}, z)`$**.
    * L'*invariance par translation* de longueur $`\Delta z`$ quelconque impose  **$`\require{cancel}\dens= \dens(\rho,\varphi, \xcancel{z})`$**.
 <br>
-* *Au final*, la densité volumique de charge **$`\dens`$ ne dépend que de $`\rho`$** :   
+* *Au final*, la densité volumique de charges **$`\dens`$ ne dépend que de z** :   
 *$`\mathbf{\left.\begin{array}{l}
 \dens=\dens\,(\rho, z) \\
 \dens=\dens\,(\rho, \varphi)
@@ -94,42 +99,44 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
 <br>
 
 ![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-1-v7_L1200.gif)
-_Un cylindre infini est, lorsqu'il est chargé uniformément en volume, l'exemple le plus simple de distribution de charge à symétrie cylindrique. Corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$.
+_Un cylindre infini est, lorsqu'il est chargé uniformément en volume, l'exemple le plus simple de distribution de chargess à symétrie cylindrique. Corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$.
 
 
 #### De quelles coordonnées dépend  $`\overrightarrow{E}`$ ?
 
-* **L'effet** possède les *invariances de sa cause* :   
-$`\Longrightarrow`$**$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$** possède les *invariances de $`\dens`$*   
+* **L'effet** possède les *invariances de sa cause* :
+$`\Longrightarrow`$**$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$** possède les *invariances de $`\dens`$*
 
-* $`\mathbf{\dens=\dens(\rho)\Longrightarrow}`$**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}(\rho)}`$** 
+* $`\mathbf{\dens=\dens(\rho)\Longrightarrow}`$**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}(\rho)}`$**
 
 #### Comment déterminer la direction de $`\overrightarrow{E}`$ ?
 
-* *Par l'* **étude des symétries** *de la distribution de charges $`\dens`$*.
+* *Par l'* **étude des symétries** *de la distribution de charges $`\dens`$*.   
 
-![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-2-v7_L1200.gif) 
-_figure temporaire à réviser : corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$. _Remplacer_ $`\mathscr{P}_2`$ _par_ $`\mathscr{P}_0`$. _En effet, pour le point suivant, nous réserverons la notation_ $`\mathscr{P}_i`$ _avec_ $`i\in\mathbb{N}^*`$ _aux plans contenant l'axe_ $`Oz`$. _Rajouter la notation $`\Delta`$ pour l'axe_ $`Oz`$.
+<br>
 
-<!-------------------------------------------------------
-* **$`\overrightarrow{E}`$** est un *vecteur polaire*.
-* *$`\mathbf{\mathcal{P}_1=}`$* **$`\mathbf{\mathcal{P}_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})}`$** est *plan de symétrie* pour  $`\dens`$.
-* *$`\mathbf{\mathcal{P}_2=}`$* **$`\mathbf{\mathcal{P}_2\,(M, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_{\rho}})}`$** est *plan de symétrie* pour  $`\dens`$.
-* *$`\mathbf{\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2=\mathcal{D}(M, \overrightarrow{e_{\rho}})}`$* 
------------------------------------->
+![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-2-v9_L1200.gif)
 
-* **En tout point $`M`$** de l'espace,
+1. Soit un **point $`M(\rho_M\,\varphi_M,z_M)`$ quelconque** de l'espace.
+2. Le **plan $`P_1`$** qui contient le point $`M`$ et l'axe $`Oz`$ est *plan de symétrie* pour la distribution de charges.
+3. Le **plan $`P_2`$** qui contient le point $`M`$ et perpendiculaire à l'axe $`Oz`$ est *plan de symétrie* pour la distribution de charges.
+4. Le champ électrique **$`\overrightarrow{E}`$ étant un vecteur polaire**, en tout point d'un plan de symétrie 
+   il est contenu ce plan.    
+   Ainsi *$`\overrightarrow{E}`$ est contenu* à la fois dans $`P_1`$ et $`P_2`$, il est donc contenu 
+   *dans l'intersection $`P_1 \cap P_2`$* de ces deux plans.   
+   La *direction de $`\overrightarrow{E}`$, selon $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$*, est 
+   *totalement déterminée*.
+
+* De façon plus concise :   
+<br>
+**En tout point $`M`$** de l'espace,
 *$`\left.\begin{array}{l} \overrightarrow{E}\;\text{vecteur polaire} \\
 P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})\; \text{plan de symétrie} \\
 P_2\,(M, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_{\rho}})\; \text{plan de symétrie}
-\end{array}\right\}\,\Longrightarrow`$* **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**   
+\end{array}\right\}\,\Longrightarrow`$* **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+
+![](electrostat-symetries-cylinder_L1200.jpg)   
 <br>
-_et donc future écriture quand la figure sera modifiée :_  
-*$`\left.\begin{array}{l} \overrightarrow{E}\;\text{vecteur polaire} \\
-P_0\,(M, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_{\rho}})\; \text{plan de symétrie} \\
-P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})\; \text{plan de symétrie} \\
-\end{array}\right\}\,\Longrightarrow`$* 
-**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**  
 
 
 #### Comment s'exprime  $`\overrightarrow{E}`$ en tout point de l'espace ?