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@@ -308,7 +308,7 @@ RÉSUMÉ
 
 
 
-##### L'équivalence des fonctions sinus et cosinus.
+##### Les notations utilisant la fonction sinus ou la fonction cosinus sont-elles équivalentes?
 
 * Fonctions **sinus et cosinus** représentent *une même fonction, déphasée de $`\pi/2`$*:   
   <br>
@@ -329,9 +329,35 @@ $`\quad = A\cdot
    * à cause de sa parité qui implique : $`U(x,t)=A\cdot cos\,(\omega t - kx + \varphi) = A\cdot cos\,(kx - \omega t - \varphi)`$
    * pour une identification directe avec l'*écriture en notation complexe*.
 
-##### L'écriture en notation complexe.
+##### Qu'est-ce que la notation complexe ?
 
+* On utilise le fait que la fonction exponentielle
+<br>
 
+*$`\forall \alpha \in \ùathbb{R}\;,\,`$*$`exp{\alph} = cos \alpha + i\cdot sin \alpha\quad`$*, avec $`i^2=-1`$.
+
+* Ainsi l'**onde sinusoïdale plane progressive** peut s'écrire :   
+   <br>   
+   * soit en *notation réelle* :   
+     <br>   
+     1D : *$`\mathbf{U(x,t)=A\cdot cos\,(\omega t - k x + \varphi)}`$*   
+     <br>   
+     3D : *$`\mathbf{U(x,t)=A\cdot cos\,(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r} + \varphi)}`$*   
+
+   * soit en **notation complexe** :   
+     <br>   
+     1D : **$`\mathbf{\underline{U}(x,t)=A\cdot e^{\,i\,(\omega t - k x + \varphi)}}`$**   
+     <br>   
+     3D : $`\begin{align}\mathbf{\color{brown}{\underline{U}(x,t)&=A\cdot e^{\,i\,(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r} + \varphi)}}}\\
+               &=A\cdot e^{\,i\,(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})}\cdot  e^{\,i\varphi)}\\
+               &=A\cdot  e^{\,i\varphi)}\cdot e^{\,i\,(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})}\\
+               &=\mathbf{\color{brown}{\underline{A}\cdot e^{\,i\,(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})}}}\\
+               &\quad\quad\text{avec }\mathbf{\color{blue}{\underline{A}=A\; e^{\,i\varphi)}}}\\
+               &\quad\quad\quad\color{blue}{\text{amplitude complexe}\end{align}`$
+
+* L'**onde physique** $`U(x,t)`$ est **réelle** et s'exprime comme la *partie réelle de l'onde complexe* :   
+    <br>
+    **$`\mathbf{U(x,t) = \mathscr{Re}\underline{U}(x,t})}`$**