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Update 12.temporary_ins/20.magnetostatics-vacuum/40.ampere-theorem-applications/30.cylindrical-current-distributions/10.rectilinear-current/10.ampere-integral/20.overview/cheatsheet.fr.md

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@@ -112,20 +112,63 @@ de courant possède les deux éléments de symétrie suivants :
 
 #### Comment caractériser cette distribution de courant ?
 
-à faire
+* Dans le cas où la *section droite* du fil conducteur est *négligée*, le courant est simplement décrit par l'**intensité $`I`$** qui parcourt le fil. 
+
+* Dans le cas contraire où la *section droite* est *non négligée*, le courant est décrit par un
+ **vecteur densité de courant $\overrightarrow{`j}`$**.
+<br>
+   * L'*invariance par rotation* d'angle $`\Delta\varphi`$ quelconque impose **$`\require{\cancel}j \overrightarrow{`j} = \overrightarrow{`j}(\rho,\xcancel{\varphi}, z)`$**.   
+   * L'*invariance par translation* de longueur $`\Delta z`$ quelconque impose  **$`\require{cancel}\overrightarrow{`j}= \overrightarrow{`j}(\rho,\varphi, \xcancel{z})`$**.   
+<br>
+* *Au final*, le vecteur densité volumique de courant **$`\overrightarrow{`j}`$ ne dépend que de z** :   
+*$`\mathbf{\left.\begin{array}{l}
+\overrightarrow{`j}=\overrightarrow{`j}\,(\rho, z) \\
+\overrightarrow{`j}=\overrightarrow{`j}\,(\rho, \varphi)
+\end{array}\quad\right\}
+\,\Longrightarrow}`$* **$`\mathbf{\overrightarrow{`j}=\overrightarrow{`j}(\rho)}`$**
+
+Image à faire   
+_Un cylindre infini est, lorsqu'il est parcourue par un courant réparti uniformément dans son volume, est l'exemple le plus simple de distribution cylindrique de courant._
+
 
 
 #### Comment déterminer la direction de $`\overrightarrow{B}`$ ?
 
-à faire
+* **L'effet** possède les *invariances de sa cause* :
+$`\Longrightarrow`$**$`\mathbf{\overrightarrow{B}}`$** possède les *invariances de $`\overrightarrow{`j}`$*
 
+* $`\mathbf{\overrightarrow{`j}=\overrightarrow{`j}(\rho)\Longrightarrow}`$ **$`\mathbf{\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}(\rho)}`$**
 
 ![](magnetostat-fil-symetries-direction-B_v2_L1200.gif)
 
+1. Soit un **point $`M(\rho_M\,\varphi_M,z_M)`$ quelconque** de l'espace.
+2. Le **plan $`P_1`$** qui contient le point $`M`$ et l'axe $`Oz`$ est *plan de symétrie* pour la distribution de courant.
+3. Le champ magnétique **$`\overrightarrow{B}`$ étant un vecteur axial**, en tout point d'un plan de symétrie il est perpendiculaire à ce plan. Le plan de symétrie $`P_1`$ étant déterminé, la *direction de $`\overrightarrow{B}`$, selon $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$*, est 
+*totalement déterminée*.
+4. Étape non nécessaire :    
+Le plan $`P_2`$ qui contient le point $`M`$ et perpendiculaire à l'axe $`Oz`$ est plan de d'anti-symétrie pour la distribution de courant. En tout point d'un plan d'anti-symétrie, $`\overrightarrow{B}`$ vecteur axial est contenu dans ce plan, ce qui est bien vérifié.   
+
+<br>
+* **En tout point $`M`$** l'espace,
+*$`\left.\begin{array}{l} \overrightarrow{B}\;\text{vecteur axial} \\
+P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})\; \text{plan de symétrie}\end{array}\right\}\,\Longrightarrow`$* **$`\mathbf{\overrightarrow{B}=B_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**
+<br>
+et donc future écriture quand la figure sera modifiée :
+*$`\left.\begin{array}{l} \overrightarrow{E}\;\text{vecteur polaire} \\
+P_0\,(M, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_{\rho}})\; \text{plan de symétrie} \\
+P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})\; \text{plan de symétrie} \\
+\end{array}\right\}\,\Longrightarrow`$*
+**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+
 
 #### Comment s'exprime $`\overrightarrow{B}`$ en tout point de l'espace ?
 
-à faire
+* Synthèse de l'étude des invariances et symétries de $`\overrightarrow{j}`$ :
+**En tout point $`M`$** de l'espace,
+*$`\left.\begin{array}{l}
+\text{Invariances}\Longrightarrow\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}(\rho) \\
+\text{Symétries}\Longrightarrow\overrightarrow{B}=B_{\varphi}\,\overrightarrow{e_{\varphi}}
+\end{array}\right\}\,\Longrightarrow`$* **$`\mathbf{\overrightarrow{B}=E_{\varphi}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**
 
 
 #### Y-a-t'il des lieux où $`\overrightarrow{B}`$ est déjà totalement déterminé par les symétries et invariances ?