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@@ -71,9 +71,149 @@ $`\mathbf{\quad\Longleftrightarrow\quad(\alpha;\beta,\gamma)}`$ sont des coordon
 
 #### Comment définir le vecteur unitaire associé à chaque coordonnée ?
 
+* Le vecteur unitaire $`\overrightarrow{e_{\alpha}}`$ indique la **direction et
+le sens de déplacement** d'un point $`M`$ si *seule la coordonnée $`\alpha`$* du point 
+$`M`$ *varie d'une quantité positive infinitésimale $`d\alpha^+`$*.
+
+
+* **$`\mathbf{M(x,y,z) \longrightarrow M'(x+\Delta x^+,y,z)}`$**<br>
+* **$`\mathbf{M(x,y,z) \longrightarrow M'(x,y+\Delta y^+,z)}`$**<br>
+* **$`\mathbf{M(x,y,z) \longrightarrow M'(x,y,z+\Delta z^+)}`$**<br>
+**$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M'''(\rho,\varphi,z+\Delta z^+)}`$** <br>
+(avec $`\Delta\rho^+=\Delta\rho>0`$, $`\Delta y^+=\Delta y>0`$ et $`\Delta z^+=\Delta z>0`$)<br>
+<br>**$`\Longrightarrow`$ directions et sens** de <br>
+**$`\quad\overrightarrow{e_x}`$** : selon l'axe $`Ox`$.
+**$`\quad\overrightarrow{e_y}`$** : selon l'axe $`Oy`$.
+**$`\quad\overrightarrow{e_z}`$** : selon l'axe $`Oz`$.
+
+* Dans les trois cas, la trajectoire suivie par $`M`$ : sègment de droite<br>
+$`\Longrightarrow`$ longueur parcourue = norme du vecteur déplacement.<br>
+$`\Longrightarrow`$ $`l_{\Delta\rho}=||\overrightarrow{MM'}||\quad`$, 
+ $`\quad l_{\Delta y}=||\overrightarrow{MM''}||`$ et  $`\quad l_{\Delta z}=||\overrightarrow{MM'''}||`$
+
+* Cas général ($`dx, dy et dz >0\;\text{ou}<0`$) :<br>
+**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_x}`$** $`\displaystyle=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \overrightarrow{MM'}`$ **$`\mathbf{ = x \cdot \overrightarrow{e_x}}`$**.   
+**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_y}`$** $`\displaystyle=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \overrightarrow{MM''}`$ **$`\mathbf{ = y \cdot \overrightarrow{e_y}}`$**.   
+**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_z}`$** $`\displaystyle=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \overrightarrow{MM'''}`$ **$`\mathbf{ = z \cdot \overrightarrow{e_z}}`$**.   
+
+
+#### La base $`(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$ est orthonormée.
+
+
+* **$`(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$** est la *base associée à un point $`M(x_M,y_M,z_M)`$*.
+
+* $`(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$ est orthonormée **directe** *si les trois vecteurs de base
+dans l'ordre* où ils apparaissent dans l'écriture de la base :
+   * *premier : $`\overrightarrow{e_x}`$*,
+   * *deuxième : $`\overrightarrow{e_y}`$*,
+   * *troisième : $`\overrightarrow{e_z}`$*,   
+   ont des *orientations relatives* qui respectent la **règle d'orientation de l'espace** dite de la **main droite** :
+   * si le premier vecteur, *$`\overrightarrow{e_x}`$*, est orienté en **direction et sens du pouce** d'une main droite,
+   * si le deuxième vecteur, *$`\overrightarrow{e_y}`$*, est orienté en **direction et sens de l'index** de la même main droite,
+   * alors le troisième vecteur *$`\overrightarrow{e_z}`$* doit être orienté en **direction et sens du majeur** de la même main droite.
+<br>
+![](physics-mechanics-space-orientation-right-hand-rule-direction_L1200_horiz_vert.jpg)   
+<br>
+Dans le **cas contraire** :
+   * premier vecteur, *$`\overrightarrow{e_x}`$* orienté en *direction et sens du pouce* d'une main droite,
+   * euxième vecteur, *$`\overrightarrow{e_y}`$* orienté en *direction et sens de l'index* de la même main droite,
+   * troisième vecteur *$`\overrightarrow{e_z}`$* orienté en *direction et* **sens inverse du majeur** de la même main droite,
+la **base orthonormée** est dite **indirecte**.
+
+@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
+
+* **$`\left\{ \begin{array}{l}\mathbf{\overrightarrow{e_{\rho}}=\cos\varphi\cdot\overrightarrow{e_x}+\sin\varphi\cdot\overrightarrow{e_y}} \\\mathbf{\overrightarrow{e_{\varphi}}=-\sin\varphi\cdot\overrightarrow{e_x}+\cos\varphi\cdot\overrightarrow{e_y}} \end{array}\right.`$**
+
+* Dans le référentiel  $`(O,\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z},t)`$, la *base $`(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$* :<br>
+\- n'est **pas fixe**.<br>
+\- **change d'orientation** *quand $`\varphi_M`$ varie*.
+
+
+
+
+
 #### Comment s'exprime le vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ ?
 
+
 ![](cartesian_coordinates_position_vector_OM_L1200.gif)
 
+
 ##### Quelle différence entre coordonnées d'un point $`M`$, et composantes du vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ ?
 
+@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
+@@@@from cylindrical
+@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
+-
+#### Comment s'exprime le vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ ?
+
+----
+
+![](cylindrical_coordinates_vector_OM_L1200.gif)
+
+---
+
+*  **$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=\rho_M\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+z_M\cdot\overrightarrow{e_z}}`$**
+
+#### Que sont l'élément de longueur $`dl`$ et  vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$ ?
+
+* Un point **$`M(\rho,\varphi,z)`$** fait un **déplacement infinitésimal** jusqu'au point $`M'(\rho+d\rho,\varphi+d\varphi,z+dz)`$, avec *$`d\rho`$, $`d\varphi`$ et $`dz`$ variations infinitésimales, positives ou négatives*, des coordonnées $`\rho\;,\;\varphi\;,\;z`$.
+
+##### Vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$
+
+* vecteur déplacement élémentaire = *élément vectoriel d'arc* [Norme IEC](http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-02)
+
+* Le **vecteur déplacement élémentaire** est le vecteur
+**$`\overrightarrow{dl}`$** $`\;=dl_{\rho}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\cdot\overrightarrow{e_z}`$
+**$`\quad=dl_{\rho}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+\rho\,d\varphi\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\cdot\overrightarrow{e_z}`$**
+
+*  permet de calculer les vecteurs vitesse $`\overrightarrow{v}(t)`$ et accélération $`\overrightarrow{a}(t)`$ d'un point M à tout instant t :<br>
+**$`\overrightarrow{v}(t)`$**$`\;=\dfrac{\overrightarrow{dOM}}{dt}`$**$`\;=\dfrac{\overrightarrow{dl}}{dt}`$**<br>
+**$`\overrightarrow{a}(t)`$**$`\;=\dfrac{\overrightarrow{d^2 OM}}{dt^2}`$**$`\;=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\overrightarrow{dl}}{dt}\right)`$**
+
+##### Élément de longueur $`dl`$
+
+* élément de longueur = *élément scalaire d'arc* [Norme IEC](http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-01)
+
+* L'**élément de longueur $`dl`$** est la *longueur parcourue* sur la trajectoire entre $`M`$ et $`M'`$ :<br>
+**$`dl`$**$`\;=\sqrt{dl_{\rho}^2+dl_{\varphi}^2+dl_z^2}`$**$`\;=\sqrt{d\rho^2+\rho^2\,d\varphi^2+dz^2}`$**
+
+* Permet de calculer la longueur $`\mathscr{l}`$ d'une trajectoire $`L`$, lorsque les coordonnées $`\rho(t)`$, $`\varphi(t)`$ et $`z(t)`$ varient en fonction du temps de façon indépendantes les une des autres :<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{\mathscr{l}=\int_L dl}`$**
+
+#### Qu'est-ce que la surface élémentaire associée à chaque coordonnée ?
+
+* **Element de surface $`dl_{\rho}`$**, surface élémentaire *perpendiculaire à $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$*.<br>
+ <br>_Utilisable, par exemple, pour calculer l'aire de la surface latérale d'un cylindre._
+
+![](cylindrical_coordinates_surface_4_L1200.jpg)<br>
+
+-----------------
+
+* **Element de surface $`dl_{\varphi}`$**, surface élémentaire *perpendiculaire à $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$*.<br>
+ <br>_Utilisable, par exemple, pour calculer l'aire d'un disque centré et perpendiculaire à l'axe $`Oz`$._
+
+![](cylindrical_coordinates_surface_2_L1200.jpg)<br>
+
+-----------------
+
+* **Element de surface $`dl_z`$**, surface élémentaire *perpendiculaire à $`\overrightarrow{e_z}`$*.<br>
+ <br>_Utilisable, par exemple, pour calculer l'aire de la section d'un cylindre contenant l'axe $`Oz`$._
+<!-- mal dit ça, "contenant" ... à changer -->
+
+![](cylindrical_coordinates_surface_3_L1200.jpg)<br>
+
+---
+
+#### Qu'est-ce que le volume élémentaire ?
+
+Le **volume élémentaire** en chaque point $`M`$ de coordonnées $`(\rho, \varphi, z)`$
+est le volume $`d\tau`$ d'un *parallélépipède rectangle mésoscopique*, d'*arêtes parallèles aux vecteurs
+$`\overrightarrow{e_{\rho}}`$, $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ et $`\overrightarrow{e_z}`$*,
+et de *longueurs* respectives *$`dl_{\rho}`$, $`dl_{\varphi}`$ et $`dl_z`$*.
+
+Donc **$`\mathbf{d\tau}`$**$`\; = dl_{\rho} \cdot dl_{\varphi}\cdot dl_z`$**$`\; =\mathbf{\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz}`$**
+
+![](cylindrical_coordinates_volume_L1200.jpg)<br>
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