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Update 12.temporary_ins/44.relativity/40.n4/10.special-relativity/20.framework-of-special-relativity/20.overview/cheatsheet.fr.md

12.temporary_ins/44.relativity/40.n4/10.special-relativity/20.framework-of-special-relativity/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -41,10 +41,17 @@ RÉSUMÉ
 
   *Cadre de la relativité restreinte* :   
   __La scène :__   
-  Un espace-temps minskovskien,   
+  Un espace-temps minskovskien   
+$`\Longleftrightarrow`$ il existe il existe des systèmes de coordonnées de Minkovsky 
+$`(O,x^0,x^1,x^2,x^3)`$,    
+en posant $`
+
+  $`\Longrightarrow`$ il existe il existe des systèmes de coordonnées de Minkovsky 
   $`\Longrightarrow`$ un invariant : l'intervalle $`\mathscr{s}_{AB}`$ entre deux évènements $`A`$ et $`B`$.      
   $`\Longrightarrow`$ il existe des systèmes de coordonnées de Minkovsky $`(O,x,y,z,t)`$ tels que
-   par définition $`s_{AB}=\big[c^2(t_B-t_A)^2-(x_B-x_A)^2-(y_B-y_A)^2`$
+   par définition $`s_{AB}=
+   
+   \big[c^2(t_B-t_A)^2-(x_B-x_A)^2-(y_B-y_A)^2`$
    $`\,-\,(z_B-z_A)^2\big]^{1/2}`$    
   __Les acteurs :__   
   \- Des évènements repérés par leurs coordonnées spatio-temporelles $`(x,y,z,t)`$,   
@@ -90,5 +97,52 @@ $`O'x'\parallel Ox\;,\,O'y'\parallel Oy\;,\,O'z'\parallel Oz`$
 à faire
 
 ##### Suite
+
+Loi de transformation de Lorentz des positions spatio-temporelles.
+
+exprimée avec :
+* $`\beta=\dfrac{V}{c}`$ : vitesse relative (donc sans dimension) par rapport à $`c`$.   
+   $`0\le\beta\lt1`$ pour un objet matériel,   
+    $` \beta=1`$ pour la lumière dans le vide dans tout référentiel.
+   
+* $`\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=(1-\beta^2)^{-1}`$ : facteur de Lorentz.    
+   $`0\le\gamma\lt \infty`$ pour un objet matériel.
+
+$`\begin{pmatrix}
+\gamma & -\gamma\,\beta & 0 & 0 \\
+-\gamma\,\beta & \gamma & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 1 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 1
+\end{pmatrix}`$
+
+Pour des axes quelconques :
+
+$`\overrightarrow{OM}(t)=\overrightarrow{r}(t)`$
+
+Si $`\overrightarrow{V}_{\mathscr{R}'/\mathscr{R}}=\overrightarrow{V}=V\, \overrightarrow{u_V}`$,   
+avec $`V=\Vert\overrightarrow{V}\Vert`$
+et $`\overrightarrow{u_V}=\dfrac{\overrightarrow{V}}{\Vert\overrightarrow{V}\Vert}`$.  
+
+Le vecteur position $`\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{r}`$ peut s'écrire comme la somme de deux composantes vectorielles, l'une parallèle à $`\overrightarrow{V}`$ notée 
+$`\overrightarrow{r}_{\parallel}`$ et l'autre perpendiculaire notée $`\overrightarrow{r}_{\perp}`$ 
+
+$`\overrightarrow{r}_{\parallel}=\dfrac{\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{V}}{V}
+\,\overrightarrow{u_V}`$
+
+$`\overrightarrow{r}_{\perp}=\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r}_{\parallel}`$
+
+$`\mathscr{T}_{Lorentz}`$
+$`\;=\begin{pmatrix}
+\gamma & -\gamma\,\beta_x & -\gamma\,\beta_y &-\gamma\,\beta_z \\
+-\gamma\,\beta_x & 1+\alpha\,\beta_x^2 & \alpha\,\beta_x\,\beta_y & \alpha\,\beta_x\,\beta_z \\
+-\gamma\,\beta_y & 1+\alpha\,\beta_y\,\beta_x & \alpha\,\beta_y^2 & \alpha\beta_y\,\beta_z \\
+-\gamma\,\beta_z & 1+\alpha\,\beta_z\,\beta_x & \alpha\,\beta_z\,\beta_y & \alpha\,\beta_z^2
+\end{pmatrix}`$
+
+avec le facteur intermédiaire $`\alpha=\dfrac{\gamma-1}{\Vert\beta\Vert^2}`$ pour simplifier l'expression des termes.
+
+*Invariant relativiste*
+équivalent de la longueur dans l'espace de la mécanique newtonienne.
+$`ds=\sqrt{c^2 dt^2-dx^2-dy^2-dz^2}`$