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@@ -51,50 +51,57 @@ RÉSUMÉ<br>
   avec $`\Delta t`$ inférieur à l'âge de reproduction.
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+##### Puis-je utiliser le calcul différentiel appliqué à des variables réelles pour décrire la dynamique de variables discrètes?
+
+à faire
+
+
 ##### Le modèle à taux de croissance constant : modèle exponentiel
 
-* $`N(t)`$ : Nombre d'individus à l'instant $`t`$ dans une population $`\mathscr{P}`$
+* Soit **$`X(t)`$** une variable qui peut représenter   
+   * la *valeur réelle d'une grandeur physique continue* à l'instant $`t`$.
+   * un *nombre entier d'entités au sein d'un système* à l'instant $`t`$ 
 
 
-* L'accroissement naturel $`dN`$ d'une population entre une date initiale $`t`$ et sur une 
-  durée infinitésimale $`dt`$ est proportionnel à l'effectif $`N(t)`$ de la population 
+* L'accroissement $`dX`$ de la variable à l'instant $`t`$ et sur une 
+  durée infinitésimale $`dt`$ est proportionnel à $`X(t)`$, valeur de la variable
   à l'instant $`t`$ :   
   <br>
-  $`\left.\dfrac{dN}{dt}\right\lvert_{\,\bigt} \,=\,\underbrace{\propto N(t)}_{\text{proportionnel à N(t)}}`$   
+  $`\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\bigt} \,=\,\underbrace{\propto X(t)}_{\text{proportionnel à X(t)}}`$   
   <br>
    Notons $`r(t)`$ et appelons taux de croissance par individu de la population le coefficient de proportionnalité :   
   <br>
-  $`\left.\dfrac{dN}{dt}\right\lvert_{\,\bigt} \,=\,r(t)\, N(t)`$  
+  $`\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\bigt} \,=\,r(t)\, X(t)`$  
   <br>
   Le modèle à taux de croissance constante postule que $`r`$ ne dépend pas du temps.   
   <br>
-  $`\left.\dfrac{dN}{dt}\right\lvert_{\,\bigt} \,=\,r\, N(t)`$  
+  $`\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\bigt} \,=\,r\, X(t)`$  
 
-* Calculons l'effectif $`N(t_2)`$ de $`\mathscr{P}`$ à une date $`t_2`$ connaissant l'effectif $`N(t_1)`$ à une date $`t_1`$ :   
+* Calculons l'effectif $`X(t_2)`$ de $`\mathscr{P}`$ à une date $`t_2`$ connaissant l'effectif $`X(t_1)`$ à une date $`t_1`$ :   
   <br>
 
 
-   $`\color{brown}{\Large{\left.\dfrac{dN}{dt}\right\lvert_{\,\bigt} = r\,N(t)}}`$
+   $`\color{brown}{\Large{\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\bigt} = r\,X(t)}}`$
 
   $`\displaystyle\begin{align}
-   \;\;&\Longrightarrow\quad\left.\dfrac{dN}{N}\right\lvert_{\,\bigt}=r\,dt\\
+   \;\;&\Longrightarrow\quad\left.\dfrac{dX}{X}\right\lvert_{\,\bigt}=r\,dt\\
    \\
-   &\Longrightarrow\;\underbrace{\int_{N(t_1)}^{N(t_2)}\dfrac{dN}{N}}_{\color{blue}{\begin{array}{c}
+   &\Longrightarrow\;\underbrace{\int_{X(t_1)}^{X(t_2)}\dfrac{dX}{X}}_{\color{blue}{\begin{array}{c}
    \text{Primitive }\left(\large{\frac{dx}{x}} \right)\\ =\;ln\,|\,x\,|\end{array}}}=\int_{t_1}^{t_2} r\,dt\\
    \\
-   &\Longrightarrow\;\big[\,ln\,|N|\,\big]_{N(t_1)}^{N(t_2)}= r \,\big[\,t\,\big]_{t_1}^{t_2}\\
+   &\Longrightarrow\;\big[\,ln\,|X|\,\big]_{X(t_1)}^{X(t_2)}= r \,\big[\,t\,\big]_{t_1}^{t_2}\\
    \\
-   &\Longrightarrow\;\underbrace{ln\,|N(t_2)|-\,ln\,|N(t_1)|}_{\color{blue}{
-   N\,>\,0 \;\Longrightarrow\;|N|\,=\,N}} = r\,(t_2 - t_1)\\
+   &\Longrightarrow\;\underbrace{ln\,|X(t_2)|-\,ln\,|X(t_1)|}_{\color{blue}{
+   N\,>\,0 \;\Longrightarrow\;|X|\,=\,X}} = r\,(t_2 - t_1)\\
    \\
-   &\Longrightarrow\; ln\,N(t_2) = ln\,N(t_1) + r\,(t_2 - t_1)\\
+   &\Longrightarrow\; ln\,X(t_2) = ln\,X(t_1) + r\,(t_2 - t_1)\\
    \\
-   &\Longrightarrow\; \underbrace{exp\big[ln\,N(t_2)\big]}_{\color{blue}{exp\,(ln\,x)\;=\;x}}
-   =\underbrace{exp\big[ln\,N(t_1) + r\,(t_2 - t_1)\big]}_{\color{blue}{exp\,(a+b)\;=\;exp\,a\;\times\; exp\,b}}\\
+   &\Longrightarrow\; \underbrace{exp\big[ln\,X(t_2)\big]}_{\color{blue}{exp\,(ln\,x)\;=\;x}}
+   =\underbrace{exp\big[ln\,X(t_1) + r\,(t_2 - t_1)\big]}_{\color{blue}{exp\,(a+b)\;=\;exp\,a\;\times\; exp\,b}}\\
    \\
-   &\Longrightarrow\; N(t_2)=N(t_1)\,exp\,\big[r\,(t_2 - t_1)\big]\\
+   &\Longrightarrow\; X(t_2)=X(t_1)\,exp\,\big[r\,(t_2 - t_1)\big]\\
    \\
-   &\color{brown}{\Longrightarrow\; \Large{N(t_2)=N(t_1)\;e^{\,r\,(t_2-t_1)}}}
+   &\color{brown}{\Longrightarrow\; \Large{X(t_2)=X(t_1)\;e^{\,r\,(t_2-t_1)}}}
    \end{align}`$