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@@ -1192,6 +1192,90 @@ l'*amplitude de l'onde resultante* n'est *pas la somme des amplitudes* des ondes
 ![interférences entre deux ondes sphériques d'égale amplitiudes et déphasées de pi,
 et propagation des zéros](https://m3p2.com/fr/temporary_ins/waves/n3/overview/2_sources_circulaires_dephasees_pi_v2_L1000.gif)
 
+@@@@@@@ EN  CONSTRUCTION @@@@@@@@@@@
+
+  **$`\boldsymbol{\mathbf{U_1(x,t) = A\cdot cos(kx - \omega t)}}`$**   
+  **$`\boldsymbol{\mathbf{U_2(x,t) = A\cdot cos(kx - \omega t + \Delta\varphi)}}`$**
+
+* Calcul de l'onde résultante :  
+  <br>
+  $`\color{brown}{\mathbf{U(x,t)}}\; = U_1(x,t) + U_2(x,t)`$   
+  <br>
+  Pour simplifier l'écriture mathématique, donne un nom simple à ce qui est commun mais complexe à écrire.<br>
+  Ici ce qui est commun est le terme $`kx - \omega t`$. Appelle-le $`\alpha`$.<br>
+  En gardant en mémoire que<br>
+  *$`\alpha = kx - \omega t`$*<br>
+  Les deux ondes se réécrivent plus simplement :
+  *$`\boldsymbol{\mathbf{U_1(x,t) = A\cdot cos(\alpha)}}`$**   
+  *$`\boldsymbol{\mathbf{U_2(x,t) = A\cdot cos(\alpha + \Delta\varphi)}}`$**   
+  L'onde résultante recherchée s'écrit alors plus simplement :
+  $`\color{brown}{\mathbf{U(x,t)}}\; = A\cdot cos(\alpha) +  A\cdot cos(\alpha + \Delta\varphi)`$   
+
+* Les phases des deux ondes, $`\alpha`$ et $`\alpha + \Delta\varphi`$ sont différentes.   
+  Là encore, exprime ces deux phases en fonction de ce qu'elles partagent en commun, 
+  et de leur différences par rapport à ce commun, différences qui apparaîtront ainsi 
+  égales et minimisées.
+  <br>
+  Le **commun** est la **valeur moyenne** de leur phases, soit 
+  **$`\alpha_{moyen}`$** $`\, = \dfrac{(\alpha)+(\alpha + \Delta\varphi)}{2} = \dfrac{2\,\alpha + \Delta\varphi)}{2}`$ **$`\,= \alpha + \dfrac{\Delta\varphi)}{2}`$**   
+  et ce qui les différencie est leur *différence par rapport au commun*, soit :   
+  *$`\dfrac{\Delta\varphi}{2}`$*   
+  <br>
+  Maintenant, tu peux réécrire les phases des deux ondes en fonction de ce qu'elles ont en commun, 
+  et ce qui les différencie du commun, soit : 
+  *$`\alpha = \alpha_{moyen} - \dfrac{\Delta\varphi}{2}`$ et *$`\alpha = \alpha_{moyen} + \dfrac{\Delta\varphi}{2}`$   
+  <br>
+  L4onde résultante s'écrit maintenant, en fonction du commun et de la différence au commun :   
+  <br>
+  **$`\color{brown}{\mathbf{U(x,t)}}\; = A\cdot cos(\alpha + \dfrac{\Delta\varphi}{2} - \dfrac{\Delta\varphi}{2})
+     +  A\cdot cos(\alpha + \dfrac{\Delta\varphi}{2} + \dfrac{\Delta\varphi}{2})`$** 
+  
+==================
+
+$`\begin{align} \quad &=A\;\big[\,cos(\underbrace{kx - \omega t}_{\color{blue}{\text{  posons }\\ kx - \omega t\,=\, \alpha}}) + cos(\underbrace{kx - \omega t}_{\color{blue}{=\; \alpha}} + \Delta\varphi)\,\big]
+&\\
+&=A\;\big[\,cos\Big(\alpha + \underbrace{\dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2} + \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{=\;\varphi_1}}\Big) \\
+&\quad\quad\quad\quad + \,cos\Big(\alpha + \underbrace{\dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2} - \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{=\;\varphi_2}}\Big)\,\Big]\\
+&\\
+&=A\;\big[\,cos\Big(\underbrace{\alpha + \dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{=\;\alpha '}} + \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big) \\
+&\quad\quad\quad\quad + \,cos\Big(\underbrace{\alpha + \dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{\text{nous avons posé }\\ \alpha + (\varphi_1+\varphi_2)/2\; = \;\alpha '}} - \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,\Big]\\
+&\\
+&=A\;\big[\,cos\Big(\alpha ' + \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big) \\
+&\quad\quad\quad\quad + \,cos\Big(\alpha ' - \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,\Big]\\
+&\\
+&=A\;\big[\,\underbrace{cos(\alpha ')\,cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,-\,sin(\alpha ')\,sin\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{\text{car   }cos(a+b)\;=\;cos\,a\,cos\,b\;-\;sin\,a\,sin\,b}}\big)\\
+&\quad + \underbrace{cos(\alpha ')\,cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,+\,sin(\alpha ')\,sin\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{\text{car   }cos(a-b)\;=\;cos\,a\,cos\,b\;+\;sin\,a\,sin\,b}}\big)\,\Big]\\
+&\\
+&=2\,A\cdot cos(\alpha ')\,cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)
+\end{align}`$   
+<br>
+$`\quad\boldsymbol{\mathbf{=\color{brown}{2\,A\cdot cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big) \cdot cos\Big(}\color{blue}{\underbrace{\color{brown}{\omega t - kx + \dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}}}_{\text{pulsation }\omega\text{ inchangée}}}\color{brown}{\Big)}}}`$
+
+-----------------------------------------
+
+* L'*onde résultante*
+   * est **harmonique**.
+   * a la **même fréquence** $`\nu\,=\,\dfrac{\omega}{2\pi}`$ que les deux ondes initiales.
+   
+* L'**amplitude** de l'onde résultante est :   
+  <br>
+  **$`\boldsymbol{\mathbf{A_{résult.} = \left| \,2\,A\cdot cos\Big(\dfrac{\varphi_1 - \varphi_2}{2} \Big) \,\right|}}`$**   
+  <br>
+  $`\quad\quad\quad=\sqrt{4\,A^2 \cdot cos^2\Big(\dfrac{\varphi_1 - \varphi_2}{2}\Big)}`$   
+  <br>
+  $`\color{blue}{\scriptsize{\left.\begin{align} \quad\quad &cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)\\
+                     &cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)\end{align}
+               \right\}\Longrightarrow\\
+        \quad\quad cos^2(a)=cos(a)cos(a)=\dfrac{1}{2}[cos(a+a)+cos(a-a)]\\
+        \quad\quad\quad\quad=\dfrac{1}{2}[1 + cos(2a)]}}`$   
+   <br>
+   $`\boldsymbol{\mathbf{\quad\quad \color{brown}{=\sqrt{2\,A^2 \cdot \big(1 + cos\,(\varphi_1 - \varphi_2)\big)}}}}`$
+
+<br>
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+
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 * La figure ci-dessus est la **représentation symbolique des interférences** créées par la 
   *superposition de deux ondes circulaires synchrones*, de même amplitude mais en opposition de phases à leurs sources.