uniformisation des notations

12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/30.gauss-theorem-demonstration/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -22,6 +22,7 @@ lessons:
 ---
 
 <!--caligraphie de l'intégrale double curviligne-->
+$`\def\dens{\large{\varrho}\normalsize}`$
 $`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$
 $`\def\Ltau{\Large{\tau}\normalsize}`$
 $`\def\Sopen{\mathscr{S}_{\smile}}`$
@@ -76,22 +77,22 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
     
     * charges discrètes $`q_i`$ : $`Q_{int}=\sum_i q_i`$
     
-    * densité volumique de charge $`\rho`$ : $`\displaystyle Q_{int}=\iiint_{\tau\leftrightarrow S} \rho\cdot d\tau`$<br>
+    * densité volumique de charge $`\dens`$ : $`\displaystyle Q_{int}=\iiint_{\tau\leftrightarrow S} \dens\cdot d\tau`$<br>
     avec $`\tau`$ le volume délimité par $`S`$.
 
   <br>
   *FORME  LOCALE*
   
-  En tout point de l'espace, la divergence du champ électrique, $`div\,\overrightarrow{E}`$, est égale à la densité volumique de charge en ce point $`\rho`$ divisée par la constante électrique $`\epsilon_0`$ :
+  En tout point de l'espace, la divergence du champ électrique, $`div\,\overrightarrow{E}`$, est égale à la densité volumique de charge en ce point $`\dens`$ divisée par la constante électrique $`\epsilon_0`$ :
    
-    <br>$`\mathbf{div\,\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho}{\epsilon_0}}`$
+    <br>$`\mathbf{div\,\overrightarrow{E}=\dfrac{\de}{\epsilon_0}}`$
     
     ---
     *avec les unités $`SI`$* :<br>
     
    \- champ électrique $`E`$ : $`V\;m^{-1}`$<br>
    \- charge électrique $`Q_{int},q_i`$ : $` C`$<br>
-   \- densité volumique de charge $`\rho`$ : $` C\;m^{-3}`$<br>
+   \- densité volumique de charge $`\dens`$ : $` C\;m^{-3}`$<br>
    \- $`\epsilon_0=8,85418782\cdot 10^{-12}\;SI`$
 
 
@@ -372,14 +373,16 @@ est égal à la *charge totale $`Q_{int}`$ contenue à l'intérieur de $`S`$* di
 * Pour *n charges discrètes $`q_i`$* dans le volume $`\tau`$ :<br>
 **$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}=\sum_{i=1}^n q_i}`$**
 
-* Pour une *densité volumique de charge $`\mathbf{\rho(\overrightarrow{r})}`$* (cas de la réalité 3D à l'échelle d'observation) :<br>
-**$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}=\iiint_{\Ltau} \rho(\overrightarrow{r}) \cdot d\tau }`$**
+* Pour une *densité volumique de charge $`\mathbf{\dens(\overrightarrow{r})}`$* (cas de la réalité 3D à l'échelle d'observation) :<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}=\iiint_{\Ltau} \dens^{3D}(\overrightarrow{r}) \cdot d\tau }`$**
 
-* Lorsque les charges sont réparties sur une surface $`S`$ (2D $`\Longleftrightarrow`$ une épaisseur 1D est négligée) avec une *densité surfacique de charge $`\mathbf{\sigma}`$* :<br>
-**$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}=\iint_{S\cap\Ltau} \sigma(\overrightarrow{r}) \cdot dS }`$**
+* Lorsque les charges sont réparties sur une surface $`S`$ (2D $`\Longleftrightarrow`$ une épaisseur 1D est négligée) avec une *densité surfacique de charge $`\mathbf\dens^{2D}}`$* :<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}=\iint_{S\cap\Ltau} \dens^{2D}(\overrightarrow{r}) \cdot dS }`$**
 
-*  Lorsque les charges sont réparties sur un fil $`\Gamma`$ (1D $`\Longleftrightarrow`$ une section 2D est négligée) avec une *densité linéïque de charge $`\mathbf{\lambda}`$* :<br>
-**$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}=\int_{\Gamma\cap\Ltau} \lambda(\overrightarrow{r}) \cdot dl }`$**
+*  Lorsque les charges sont réparties sur un fil $`\Gamma`$ (1D $`\Longleftrightarrow`$ une section 2D est négligée) avec une *densité linéïque de charge $`\mathbf{\dens^{1D}}`$* :<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}=\int_{\Gamma\cap\Ltau} \dens^{1D}(\overrightarrow{r}) \cdot dl }`$**
+
+* Lorsque les indices haut $`1D`$ ou $`2D`$, par défaut $`\dens=\dens^{3D}`$
 
 
 ![](Gauss_theorem_signification_electrostatics_L800.gif)
@@ -583,28 +586,34 @@ $`\quad=\Phi_{int}+\Phi_{ext}`$$`\displaystyle\quad=0+\oiint_S \overrightarrow{X
 #### Que devient le théorème de Gauss exprimé localement ?
 
 * Le théorème de Gauss intégral donne :
-$`\Phi_X=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{dS}=4\pi\,K\cdot \iiint \rho_X\cdot d\tau`$
+$`\Phi_X=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{dS}=4\pi\,K\cdot \iiint \dens_X\cdot d\tau`$
 
 * Le théorème de Green-Ostrogradsky donne :
 $`\Phi_X=\oiint_{S\longleftrightarrow\Ltau} \overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{dS}=\iiint_{\Ltau\longleftrightarrow S} div\overrightarrow{X}\cdot d\tau`$
 
 * Nous en déduisons : $`\iiint_{\Ltau\longleftrightarrow S} div\overrightarrow{X}\cdot d\tau
-=4\pi\,K\cdot \iiint \rho_X\cdot d\tau`$
+=4\pi\,K\cdot \iiint \dens_X\cdot d\tau`$
 
 * L'égalité précédente étant vraie pour tout volume $`\tau`$, elle implique l'égalité des intégrandes qui donne le **théorème de Gauss local** :<br>
-**$`\mathbf{div\overrightarrow{X}=4\pi\,K\cdot \rho_X}`$**
+**$`\mathbf{div\overrightarrow{X}=4\pi\,K\cdot \dens_X}`$**
 
 #### Quelle est l'expression du théorème de Gauss local en électrostatique ?
 
-* En électrostatique : $`K=\dfrac{1}{4\pi\,\epsilon_0}`$, où $`\rho`$ est la densité volumique de charge (exprimée en $`C\,m^{-3}`$ dans le système international d'unités)  
+* En électrostatique : $`K=\dfrac{1}{4\pi\,\epsilon_0}`$, où $`\dens_{charge}`$ est la densité volumique de charge (exprimée en $`C\,m^{-3}`$ dans le système international d'unités)  
+
+* Lorsque dans une étude la seule densité volumique qui apparaît est la densoyté volumique de charge, alors on considère :   
+$`\dens=\dens_{charge}`$.
 
-* *Théorème de Gauss local* : **$`\large\mathbf{div\,\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho}{\epsilon_0}}`$**
+* *Théorème de Gauss local* : **$`\large\mathbf{div\,\overrightarrow{E}=\dfrac{\dens}{\epsilon_0}}`$**
 
 #### Quelle est l'expression du théorème de Gauss local en gravitation ?
 
-* En gravitation newtonnienne : $`K=-\;G`$ , où $`\rho`$ est la densité volumique de masse (exprimée en $`kg\,m^{-3}`$ dans le système international d'unités)  
+* En gravitation newtonnienne : $`K=-\;G`$ , où $`\dens_{masse}`$ est la densité volumique de masse (exprimée en $`kg\,m^{-3}`$ dans le système international d'unités)  
+
+* Lorsque dans une étude la seule densité volumique qui apparaît est la densoyté volumique de charge, alors on considère :   
+$`\dens=\dens_{masse}`$.
 
-* *Théorème de Gauss local* : **$`\large\mathbf{div\,\mathcal{\overrightarrow{G}}=-\,4\pi\,G\,\rho}`$**
+* *Théorème de Gauss local* : **$`\large\mathbf{div\,\mathcal{\overrightarrow{G}}=-\,4\pi\,G\,\dens}`$**
 
 * C'est l'utilisation implicite de ce théorème qui vous permet de considérer dans les calculs, pour déterminer par exemple la trajectoire
  d'un satellite,  que la masse totale de la Terre est concentrée au centre de gravité de la Terre supposée sphérique, et confondu avec