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12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/40.gauss-theorem-applications/25.cylindrical-charge-distributions/10.gauss-integral/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -179,20 +179,13 @@ P_2\,(M, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_{\rho}})\; \text{plan d
 
 Téléversé dès que c'est prêt.
 
-#### Quelle surface de Gauss $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$ choisir ?
+#### Quelle surface de Gauss $`\mathbf{S_G}`$ choisir ?
 
-#### Quelle surface de Gauss ![](https://latex.m3p2.com/render?input=latex&output=svg&foreground=%23000000&foreground_alpha=255&background=%23ffffff&background_alpha=0&source=%5Cmathbf%7B%5Cmathcal%7BS_G%7D%7D&width=800) choisir ?
 
-#### Quelle surface de Gauss ![](https://latex.m3p2.com/render?input=latex&output=mathml&foreground=%23000000&foreground_alpha=255&background=%23ffffff&background_alpha=0&source=%5Cmathbf%7B%5Cmathcal%7BS_G%7D%7D&width=800) choisir ?
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-#### Quelle surface de Gauss ![](https://latex.m3p2.com/render?input=latex&output=png&foreground=%23000000&foreground_alpha=255&background=%23ffffff&background_alpha=0&source=%5Cmathbf%7B%5Cmathcal%7BS_G%7D%7D&width=800) choisir ?
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-* La **surface de Gauss $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$** doit :
+* La **surface de Gauss $`\mathbf{S_G}`$** doit :
    * être une *surface fermée*.
    * *contenir le point $`M`$* quelconque.
-   * permettre un *calcul simple de $`\displaystyle\oiint_{\mathcal{S}_G} \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dS}`$*.
+   * permettre un *calcul simple de $`\displaystyle\oiint_{S_G} \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dS}`$*.
 
 * Que savons-nous ?<br>
   Les invariances et symétries $`\Longrightarrow`$*$`\;\overrightarrow{E}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}`$*   
@@ -201,31 +194,31 @@ Téléversé dès que c'est prêt.
 ![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-3-v4_L1200.gif)
 _figure temporaire à réviser : corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$.
 
-* *Choix de $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$* : **cylindre**,
+* *Choix de $`\mathbf{S_G}`$* : **cylindre**,
    * d'**axe $`Oz`$**.
    * de **rayon $`\rho_M`$**, coordonnées du point $`M`$ considéré.
    * de **hauteur $`h`$**.
 
-#### Que vaut le flux de $`\overrightarrow{E}`$ à travers $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$ ?
+#### Que vaut le flux de $`\overrightarrow{E}`$ à travers $`\mathbf{S_G}`$ ?
 
-* $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$ surface fermée se décompose en **$`\mathbf{\mathcal{S}_G=\mathcal{S}_{dis1}+\mathcal{S}_{lat}+\mathcal{S}_{dis2}}`$** avec :
+* $`\mathbf{S_G}`$ surface fermée se décompose en **$`\mathbf{S_G=S_{dis1}+S_{lat}+S_{dis2}}`$** avec :
 
-   * **$`\mathbf{\mathcal{S}_{dis1}}`$** : *disque supérieur* d'élément vectoriel de surface **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=+\rho\,d\varphi\,d\rho\,\overrightarrow{e_z}}`$**, $`\rho`$ variant de $`0`$ à $`\rho_M`$ pour couvrir la surface du disque.
+   * **$`\mathbf{S_{dis1}}`$** : *disque supérieur* d'élément vectoriel de surface **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=+\rho\,d\varphi\,d\rho\,\overrightarrow{e_z}}`$**, $`\rho`$ variant de $`0`$ à $`\rho_M`$ pour couvrir la surface du disque.
    $`\Longrightarrow \overrightarrow{dS}\perp\overrightarrow{E}`$
 
-   * **$`\mathbf{\mathcal{S}_{lat}}`$** : *surface latérale* tel que **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=+\rho_M\,d\varphi\,dz\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**, tous les $` \overrightarrow{dS}`$ étant ici situés à la même distance $`\rho=\rho_M`$ de l'axe de révolution du cylindre.
+   * **$`\mathbf{S_{lat}}`$** : *surface latérale* tel que **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=+\rho_M\,d\varphi\,dz\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**, tous les $` \overrightarrow{dS}`$ étant ici situés à la même distance $`\rho=\rho_M`$ de l'axe de révolution du cylindre.
    $`\Longrightarrow \overrightarrow{dS}\parallel\overrightarrow{E}`$
 
-   * **$`\mathbf{\mathcal{S}_{dis2}}`$** : *disque inférieur* tel que **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=-\rho\,d\varphi\,d\rho\,\overrightarrow{e_z}}`$**, $`\rho`$ variant de $`0`$ à $`\rho_M`$ pour couvrir la surface du disque.
+   * **$`\mathbf{S_{dis2}}`$** : *disque inférieur* tel que **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=-\rho\,d\varphi\,d\rho\,\overrightarrow{e_z}}`$**, $`\rho`$ variant de $`0`$ à $`\rho_M`$ pour couvrir la surface du disque.
    $`\Longrightarrow \overrightarrow{dS}\perp\overrightarrow{E}`$
 
 
-* **$`\mathbf{\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**
-$`\displaystyle\quad=\iint_{\mathcal{S}_{dis1}}\underbrace{\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}_{=\;0}+\iint_{\mathcal{S}_{lat}}\underbrace{\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}_{=\;E\cdot dS}`$
-$`\,+\iint_{\mathcal{S}_{dis1}}\underbrace{\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}_{=\;0}`$
-$`\displaystyle\quad=0 + \iint_{\mathcal{S}_{lat}} E\cdot dS + 0`$
-$`\displaystyle\quad=\iint_{\mathcal{S}_{lat}} \underbrace{E_{\rho}(\rho)}_{=\; E} \cdot \rho_M\,d\varphi\,dz`$
-$`\displaystyle\quad= E  \iint_{\mathcal{S}_{lat}} \rho_M\,d\varphi\,dz`$
+* **$`\mathbf{\oiint_{S_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**
+$`\displaystyle\quad=\iint_{S_{dis1}}\underbrace{\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}_{=\;0}+\iint_{S_{lat}}\underbrace{\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}_{=\;E\cdot dS}`$
+$`\,+\iint_{S_{dis1}}\underbrace{\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}_{=\;0}`$
+$`\displaystyle\quad=0 + \iint_{S_{lat}} E\cdot dS + 0`$
+$`\displaystyle\quad=\iint_{S_{lat}} \underbrace{E_{\rho}(\rho)}_{=\; E} \cdot \rho_M\,d\varphi\,dz`$
+$`\displaystyle\quad= E  \iint_{S_{lat}} \rho_M\,d\varphi\,dz`$
 
 **$`\mathbf{\quad\quad\;\,= 2\pi \rho_M\,h\, E}`$**
 
@@ -233,7 +226,7 @@ $`\displaystyle\quad= E  \iint_{\mathcal{S}_{lat}} \rho_M\,d\varphi\,dz`$
 
 * **Les résultats précédents**
    * $`\overrightarrow{E}(\rho, \varphi, z)=E(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}`$
-   * $`\Phi_E^{\mathcal{S}_G}= 2\pi \rho_M\,h\, E`$ , avec $`\Phi_E`$ le flux de $`\overrightarrow{E}`$ à travers $`{\mathcal{S}_G}`$
+   * $`\Phi_E^{\mathcal{S}_G}= 2\pi \rho_M\,h\, E`$ , avec $`\Phi_E`$ le flux de $`\overrightarrow{E}`$ à travers $`{S_G}`$
 
    sont *commun à toutes les distributions* de charges à symétrie cylindrique invariantes par translation selon $`Oz`$.
 
@@ -245,7 +238,7 @@ $`\Longrightarrow`$ *différentes distributions de charges sont étudiées* dans
 
 *  $`Q_{int}`$ est la **charge contenue à l'intérieur de $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$**.
 
-* **$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}=\iiint_{\Ltau_G \rightarrow\mathcal{S}_G} \dens\; d\tau}`$**, avec :
+* **$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}=\iiint_{\Ltau_G \rightarrow S_G} \dens\; d\tau}`$**, avec :
    *   **$`\mathbf{\tau_G}`$** *volume intérieur* à $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$.
    *   **$`\mathbf{d\tau}`$** est l'*élément de volume*.
 
@@ -255,7 +248,7 @@ $`\Longrightarrow`$ *différentes distributions de charges sont étudiées* dans
 
 * L'**égalité entre les deux termes** du théorème de Gauss *donne la composante $`E`$* du champ $`\overrightarrow{E}=E\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$ en tout point de l'espace :
 <br>
-$`\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}`$
+$`\oiint_{S_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}`$
 **$`\mathbf{=\dfrac{1}{\epsilon_0}}`$**  *$`\,Q_{int}`$* **$`\quad\Longrightarrow\mathbf{\text{ expression de }E}`$**.
 <br>
 Ne pas oublier le terme $`\dfrac{1}{\epsilon_0}`$.