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@@ -246,7 +246,7 @@ Nous prenons une **charge élémentaire $`\dens^{1D}\cdot\overrightarrow{dl}_P`$
 ##### Expression du champ électrique élémentaire
 
 * Calculons le **champ électrique élémentaire** au point $`M`$ :<br>
-<br>$`\overrightarrow{dE}_M\quad=\quad\dfrac{\dens_P^{1D}\cdot dl}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{\overrightarrow{PM}}{||\,\overrightarrow{PM}\,||^{\,3}}`$
+<br>$`\overrightarrow{dE}_M\quad=\quad\dfrac{\dens^{1D}\cdot dl_P}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{\overrightarrow{PM}}{||\,\overrightarrow{PM}\,||^{\,3}}`$
 $`\quad=\quad\dfrac{\dens^{1D}\cdot dz}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{d\,\overrightarrow{e_d}}{d^3}`$
 $`\quad=\quad\dfrac{\dens^{1D}\cdot dz}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{1}{d^2}\cdot \overrightarrow{e_d}`$
 
@@ -373,6 +373,8 @@ Soit au final :
 !!
 !! A la résolution de la plupart de nos expérience, nous utiliseront la notion de volume mésoscopique. C'est un volume infinitésimal à l'échelle d'observation et donc considéré comme ponctuel dans la modélisation, mais très grand devant les dimensions atomiques. Cela permet d'attribuer au volume mésoscopique la valeur moyenne des champs à l'intérieur de celui-ci, évitant ainsi les valeurs infinies. Dans l'étude des propriétés des matériaux, l'ordre de grandeur d'un volume mésoscopique est de quelques nanomètres cube à quelques dizaines de microns cube, selon les moyens de caractérisations.
 
+
+
 #### Quel est le champ électrique créé en un point de son axe par une spire circulaire chargé uniformément ?
 
 <!--MAGST-400-->
@@ -408,7 +410,7 @@ $`dq_P = \dens^{1D}_0\;dl_P = \dens^{1D}_0\,R\,d\varphi_P\quad`$**(C)
 * Selon la loi de Coulomb, la charge élémentaire $`dq_P`$ en tout point $`P`$ du cercle chargé créé
 *en tout point $`M`$* de l'espace, le **champ électrique élémentaire**    
 <br>
- **$`\overrightarrow{dE}_M=\dfrac{dq_P}{4\pi\epsilon_0}\cdot \dfrac{\overrightarrow{PM}}{\lVert \overrightarrow{PM}\rVert^3}\quad`$**
+ **$`\overrightarrow{dE}_{P\rightarrow M}=\dfrac{dq_P}{4\pi\epsilon_0}\cdot \dfrac{\overrightarrow{PM}}{\lVert \overrightarrow{PM}\rVert^3}\quad`$**
 (V&nbsp;m<sup>-1</sup>)
 
 figure
@@ -426,16 +428,24 @@ figure
 ##### Expression du champ électrique élémentaire
 
 * Calculons le **champ électrique élémentaire** au point $`M`$ :<br>
-<br>$`\overrightarrow{dE}_M\quad=\quad\dfrac{\dens_P^{1D}\cdot dl}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{\overrightarrow{PM}}{||\,\overrightarrow{PM}\,||^{\,3}}`$
-$`\quad=\quad\dfrac{\dens^{1D}\cdot dz}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{d\,\overrightarrow{e_d}}{d^3}`$
-$`\quad=\quad\dfrac{\dens^{1D}\cdot dz}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{1}{d^2}\cdot \overrightarrow{e_d}`$
-
-* Nous devons décomposer le vecteur $`\overrightarrow{e_d}`$ en fonction des vecteurs de la base cylindrique choisie, ce qui donne :<br>
-$`\quad\overrightarrow{e_d}=\cos\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}-\sin\alpha\cdot\overrightarrow{e_z}\quad`$
+<br>$`\overrightarrow{dE}_M\quad=\quad\dfrac{\dens^{1D}\cdot dl_P}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{\overrightarrow{PM}}{||\,\overrightarrow{PM}\,||^{\,3}}`$
+$`\quad=\quad\dfrac{\dens^{1D}\cdot R\,d\varphi}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{d\,\overrightarrow{e_d}}{d^3}`$
+$`\quad=\quad\dfrac{\dens^{1D}\cdot R\,d\varphi}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{1}{d^2}\cdot \overrightarrow{e_d}`$
+
+* Quelque-soit le point $`P`$ de la spire, le point $`P'`$, symétrique de $`P`$ par rapport à $`O`$ appartient à la spire,   
+  et la charge élémentaire $`dq_{p'}`$ portée par l'élément d'arc $`dl_{P'}`$ est égale à la charge élémentaire $`dq_P`$.
+  Par symétrie (voir figure ci-dessous) la somme des champs électriques élémentaires 
+  $`d\overrightarrow{dE}_{P\rightarrow M}+d\overrightarrow{dE}_{P'\rightarrow M}`$ est dirigée selon $`Oz`$,
+  car les composantes radiales de $`d\overrightarrow{dE}_{P\rightarrow M}`$ et $`d\overrightarrow{dE}_{P'\rightarrow M}`$
+  s'annulent.   
+  <br>
+  $`\Longrightarrow`$ Seule la composante $`dE_{P,z} = d\overrightarrow{dE}_{P\rightarrow M}\cdot\overrightarrow{e_z}`$ 
+  du champ électrique élémentaire selon $`z`$ contribue au champ total $`\overrightarrow{E}_M`$.   
+  <br>
+  $`\Longrightarrow`$ le champ électrique total $`\overrightarrow{E}_M`$ créé en tout point $`M`$ de son axe par la spire chargée s'exprime   
+  <br>
+  $`\displaystyle\overrightarrow{E}_M=\int_{\varphi = 0}^{2\pi}\dfrac{\dens^{1D}\cdot R}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{1}{d^2}\,\cos(\varphi}\,d\varphi `$. 
 
-*  Nous obtenons alors :<br>
-<br>**$`\mathbf{\overrightarrow{dE}_M=\dfrac{\dens^{1D}\cdot dz}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{1}{d^2}}`$
-$`\;\mathbf{\cdot \left(\cos\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}-\sin\alpha\cdot\overrightarrow{e_z}\right)}`$**