@@ -158,49 +158,52 @@ le produit scalaire $`\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}`$ réalisé sur
chaque $`dl`$, relie la composante $`B=B_{\beta}(\beta)`$ à un courant. Il *ne doit donc y avoir qu'une seule inconnue*,
$`B=B_{\beta}(\alpha)`$ dans l'exemple considéré.
Reprenons l'exemple considéré où le champ magnétique s'écrit $`\overrightarrow{B}=B_{\beta}\,(\alpha)\,\overrightarrow{e_{\beta}}`$.
Utilisons le théorème d'Ampère pour déterminer le champ en un point $`M`$ quelconque de coordonnées $`(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$
avec l'indice $`_M`$ ici précisé pour la démonstration. Le contour d'Ampère doit nécessairement contenir le point $`M`$,
donc l'un de ses éléments de longueur doit avoir pour coordonnées $`dl=dl(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$.
@@@@@@@@@@la suite est encore à modifier@@@@@@@@@@@@
Choisissons un contour fermé d'Ampère' dont en chacun de ses points de coordonnées $`(\alpha, \beta, \gamma)`$
les éléments de longueur $`dl=dl(\alpha, \beta, \gamma)`$ qui vérifient $`\overrightarrow{dl}\parallel\overrightarrow{B}`$
se classent en deux catégories :
* $`dS=dS(\alpha, \beta_M, \gamma)`$ avec $`\beta_M`$ coordonnée $`\beta`$ du point $`M`$.
* $`dS=dS(\alpha, \beta_0, \gamma)`$ avec $`\beta_0\ne\beta_M`$.
Les flux élémentaires $`\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}`$ en chaque point de la surface de Gauss se classeront aussi en deux catégories, à savoir :
Le champ électrique étant inconnu (c'est l'objectif du théorème de Gauss de le calculer), il apparaîtrait deux inconnues de champ dans le calcul du flux de $`\overrightarrow{E}`$ à travers la surface de Gauss $`\mathcal{S}_G`$ :
* inconnue 1 : $`E_{\beta}(\beta_M)`$.
* inconnue 2 : $`E_{\beta}(\beta_0)`$.
Au final, l'équation unique composant le théorème de Gauss ne permettrait pas alors de calculer $`\overrightarrow{E}`$.
Le *calcul du champ électrique $`\mathbf{\overrightarrow{E_M}}`$ en un point $`\mathbf{M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)}`$
quelconque* utilise le théorème de Gauss.
**Si $`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ ne dépend que d'une coordonnée $`\mathbf{\beta}`$**,
alors *sur les $`\mathbf{dS \text{ tels que }\overrightarrow{dS}\parallel\overrightarrow{E}}`$*
de la surface de Gauss le produit scalaire **$`\mathbf{\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}`$
doit pouvoir s'exprimer en fonction de $`\mathbf{E\,(\beta_M)}`$**, *seule inconnue de l'équation de Gauss*.
_Reprenons l'exemple considéré où le champ magnétique s'écrit_ $`\overrightarrow{B}=B_{\beta}\,(\alpha)\,\overrightarrow{e_{\beta}}`$.
_Utilisons le théorème d'Ampère pour déterminer le champ en un point_ $`M`$ _quelconque de coordonnées_ $`(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$
_avec l'indice_ $`_M`$ _ici précisé pour la démonstration. Le contour d'Ampère doit nécessairement contenir le point_ $`M`$,
_donc l'un de ses éléments de longueur doit avoir pour coordonnées_ $`dl=dl(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$.
_Choisissons un contour fermé d'Ampère dont en chacun de ses points de coordonnées_ $`(\alpha, \beta, \gamma)`$
_les éléments de longueur_ $`dl=dl(\alpha, \beta, \gamma)`$ _qui vérifient_ $`\overrightarrow{dl}\parallel\overrightarrow{B}`$
_Les circulations élémentaires_ $`\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}`$ _en chaque point du contour d'Ampère se classeront aussi en deux catégories, à savoir :_
_Le champ magnetique étant inconnu (c'est l'objectif du théorème d'Ampère de le calculer), deux inconnues de champ apparaîtraient dans le calcul de la circulation de_
$`\overrightarrow{B}`$ _le long du contour d'Ampère_ $`\mathcal{\Gamma}_A`$ :
* _inconnue 1 :_ $`B_{\beta}(\beta_M)`$.
* _inconnue 2 :_ $`B_{\beta}(\beta_0)`$.
_Au final, l'équation unique composant le théorème d'Ampère ne permettrait pas alors de calculer_ $`\overrightarrow{B}`$.
Le *calcul du champ magnetique $`\mathbf{\overrightarrow{B_M}}`$ en un point $`\mathbf{M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)}`$
quelconque* utilise le théorème d'Ampère.
**Si $`\mathbf{\overrightarrow{B}}`$ ne dépend que d'une coordonnée $`\mathbf{\beta}`$**,
alors *sur les $`\mathbf{dl \text{ tels que }\overrightarrow{dl}\parallel\overrightarrow{B}}`$*
du contour d'Ampère le produit scalaire **$`\mathbf{\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}}`$
doit pouvoir s'exprimer en fonction de $`\mathbf{B\,(\beta_M)}`$**, *seule inconnue de l'équation d'Ampère*.
! *Note* :
! Cette remarque est indispensable pour le calcul de $`\overrightarrow{E}`$
! créé par un plan infini chargé uniformément en surface.
! Cette remarque est indispensable pour le calcul de $`\overrightarrow{B}`$
! créé par un plan infini parcouru par un vecteur densité de courant uniforme.
!
! Il faudra alors considérer un élément de symétrie supplémentaire par rapport à
! l'étude d'une distribution de charge à symétrie cylindrique ou sphérique.
<br>
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#### 3° étape : Calcul de la charge dans le volume de Gauss, et calcul de $`\overrightarrow{E}`$
#### 3° étape : Calcul du l'intensité (en valeur algébrique) du courant traversant une surface d'Ampère adaptée`$
Cette étape consiste dans le *deuxième terme du théorème de Gauss* à **identifer et calculer la charge totale** contenue à l'intérieur de la surface de Gauss.
Cette étape consiste dans le *deuxième terme du théorème d'Ampère* à
**identifer et calculer l'intensité (en valeur algébrique) du courant traversant une surface d'Ampère adaptée** à travers une surface d'Ampère $`S_A`$ qui s'appuie
sur le contour d'Ampère $`\Gamma_A`$, et d'orientation compatible avec l'orientation choisie pour $`\Gamma_A`$ selon
