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@@ -178,7 +178,7 @@ warning, ... , états stationnaires résultats d'équilibres en danger, ... épu
 
 #### Le modèle "proie-prédateur" de Lotka-Volterra
 
-<br><br>
+<br>
 
 ##### Qu'est-ce que modèle "proie-prédateur" de Lotka-Volterra ?
 
@@ -207,16 +207,16 @@ dei Lincei II; Rome, Italy, 1926; pp. 31–113
 ##### Quels sont ses domaines d'application ?
 
 Les modèles proie-prédateur, du plus simple à ses développements ultérieurs, peuvent servir
-à modéliser et comprendre de nombreux phénomènes couvrant des disciplines très diverses.
+à comprendre et modéliser de nombreux phénomènes couvrant des **disciplines très diverses**.
 
-* Ecologie : dynamique d'espèces en compétition.
-* Chimie : phénomènes oscillatoire dans certaines réactions chimiques.
-* Sociologie :
-* Economie : 
+* *Ecologie* : dynamique d'espèces en compétition.
+* *Chimie* : phénomènes oscillatoire dans certaines réactions chimiques.
+* *Sociologie* : ...
+* *Economie* : ...
 * ... (liste non limitative)
 
-Il suffit de reconnaître dans les équations et les paramètres des modèles une description 
-possible d'un phénomène observé, qu'il soit naturel ou culturel.
+Il suffit de reconnaître dans les **équations** et les paramètres des modèles une *description possible*
+*d'un phénomène* observé, qu'il soit naturel ou culturel.
 
 <br>
 
@@ -251,7 +251,7 @@ L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
 
 <br>
 
-**Interaction entre $`X(t)`$ et $`Y(t)`$**
+**Interaction entre $`X_1(t)`$ et $`X_2(t)`$**
 
 * **hypothèses** : 
    * Pour **une proie**, la *probabilité d'être tuée* par un prédateur et par unité de temps 
@@ -262,12 +262,12 @@ L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
   <br>
   Cela entraîne :   
 
-   * Pour la **population $`X_1`$ des proies**, le *taux de décroissance $`\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^-`$* dû 
+   * Pour la **population $`X_1`$ des proies**, le *taux de décroissance $`\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^-`$* dû 
      à la prédation est *proportionnel à $`X_1(t)X_2(t)`$*, produit des nombres de proies et prédateurs :
      <br>
      **$`\large{\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^- \,=\,-\, D_1\;X_1(t)\,X_2(t)}\quad`$**, avec *$`D_1 \gt 0`$*.   
      <br>
-   * Pour la **population $`X_2`$ des prédateurs**, le *taux de croissance $`\left.\dfrac{dY}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+`$* dû
+   * Pour la **population $`X_2`$ des prédateurs**, le *taux de croissance $`\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+`$* dû
      à l'abondance de proies est *proportionnel à $`X_1(t)\,X_2(t)`$* :   
      <br>
      **$`\large{\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+ \,=\,+\, C_2\;X_1(t)\,X_2(t)}\quad`$**, avec *$`C_2 \gt 0`$*. 
@@ -294,7 +294,7 @@ L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
   <br>
       avec *$`(C_1\,,C_2\,,D_1\,,D_2)\in\mathbb{R}_+^4`$*.
 
-<br>
+
 
 ##### Quelles sont les limites de ce modèle original ?
 
@@ -308,7 +308,7 @@ L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
      plus nourriciaires ou moins peuplées en prédateurs, des prédateurs vers les proies.
 * Les systèmes à **trois populations et plus en interaction** ne sont *pas décrits*.
 
-<br>
+
 
 ##### Quelle est l'évolution type des populations ?
 
@@ -318,7 +318,7 @@ L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
 
 ![](lokta-volverra-def-cycle_L1200.gif)
 
-<br>
+
 
 ##### Existe-t-il un état d'équilibre des populations ?
 
@@ -328,7 +328,7 @@ L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
 
 ![](lokta-volverra-balance-populations-1b_L1200.gif)
 
-<br>
+
 
 ##### Comment représenter l'ensemble des états possibles ?
 
@@ -338,7 +338,7 @@ L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
 
 ![](lokta-volverra-vector-field_L1200.jpg)
 
-<br>
+
 
 ##### Quelle est la sensibilité aux paramètres d'interaction ?
 
@@ -348,13 +348,13 @@ L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
 
 ![](lokta-volverra-variation-D1_L1200.gif)
 
-<br>
+
 
 ##### Pourquoi la modélisation est-elle indispensable ?
 
 à faire
 
-<br>
+
 ##### Quels pièges éviter pour une modélisation satisfaisante ?
 
 à faire... discrétisation, analyse numérique..