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308cae0c
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308cae0c
authored
Dec 21, 2025
by
Claude Meny
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...-vacuum/10.maxwell-equations/20.overview/cheatsheet.es.md
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12.temporary_ins/90.electromagnetism-in-vacuum/10.maxwell-equations/20.overview/cheatsheet.es.md
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308cae0c
...
...
@@ -565,22 +565,22 @@ $`\displaystyle d\mathcal{P}_{cedida} = \sum_{i=1}^p\overrightarrow{j_i}\cdot\ov
*
Un campo electromagnético $
`\big(\overrightarrow{E}\,,\,\overrightarrow{B}\big)`
$ que se extiende en el espacio,
la energía contenida en el campo está descrita por
una
**densidad volumétrica de energía electromagnética $`\dens_{energía-EM}^{3D}`**
definida en cada punto del espacio.
una
**densidad volumétrica de energía electromagnética $`\dens_{energía-EM}^{3D}`
$
**
definida en cada punto del espacio.
*
Parte de la identidad matemática
*
Parte de la identidad matemática
<br>
$
`\mathbf{div\,\big(\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}\big)=
\overrightarrow{V}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)\,-\,\overrightarrow{U}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{V}\big)}`
$
\overrightarrow{V}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)\,-\,\overrightarrow{U}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{V}\big)}`
$
<br>
y aplícala al campo electromagnético $
`\big(\overrightarrow{E}\,,\overrightarrow{B})`
$ estableciendo $
`\overrightarrow{U}=\overrightarrow{E}`
$
y $
`\overrightarrow{V}=\overrightarrow{B}`
$
y aplícala al campo electromagnético $
`\big(\overrightarrow{E}\,,\overrightarrow{B})`
$ estableciendo $
`\overrightarrow{U}=\overrightarrow{E}`
$
y $
`\overrightarrow{V}=\overrightarrow{B}`
$
<br>
**$`\mathbf{div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)=\overrightarrow{B}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}\big)\,-\,\overrightarrow{E}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}\big)}`
**
,
**$`\mathbf{div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)=\overrightarrow{B}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}\big)\,-\,\overrightarrow{E}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}\big)}`
$**
,
<br>
$
`\color{blue}{\scriptsize{
\text{Identifica los términos } \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \text{ y } \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}}}`
$
$
`\color{blue}{\scriptsize{\text{ con sus causas respectivamente}}}`
$
$
`\color{blue}{\scriptsize{\text{con las ecuaciones de Maxwell-Faraday y Maxwell-Ampère}}}`
$
$
`\color{blue}{\scriptsize{\text{con las ecuaciones de Maxwell-Faraday y Maxwell-Ampère}}}`
$
<br>
$
`\begin{align}div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)
=&\,\overrightarrow{B}\cdot
...
...
@@ -588,22 +588,21 @@ $`\begin{align}div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)
\underbrace{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}}
_{\color{blue}{=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}}\big)\,\\
&\quad-\,\overrightarrow{E}\cdot\big(\underbrace{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}}_{\color{blue}{=\mu_0\,\vec{j}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
}}\big)\end{align}`
$
}}\big)\end{align}`
$
<br>
$
`div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)`
$
$
`div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)`
$
$
`\quad=-\,\mu_0\,\vec{j}\cdot\overrightarrow{E}\,-\,\mu_0\,\epsilon_0\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}\cdot\overrightarrow{E}
\,-\,\overrightarrow{B}\cdot \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\big)
$
\,-\,\overrightarrow{B}\cdot \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\big)
`
$
<br>
$
`\color{blue}{\scriptsize{
\t
ext{Recuerda que }
\v
ec{u}
\d
frac{
\p
artial
\v
ec{u}}{
\p
artial t}=
\d
frac{1}{2}
\,\d
frac{
\p
artial (
\v
ec{u}
\c
dot
\v
ec{u})}{
\p
artial t}=
\d
frac{1}{2}
\,\d
frac{
\p
artial u^2}{
\p
artial t}}}
`$
\text{Recuerda que } \vec{u}\dfrac{\partial \vec{u}}{\partial t}=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\partial (\vec{u}\cdot\vec{u})}{\partial t}=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\partial u^2}{\partial t}}}`
$
<br>
$
`div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)`
$
$
`\quad =-\,\mu_0\,\vec{j}\cdot\overrightarrow{E}\,-\,\dfrac{\mu_0\,\epsilon_0}{2}\,\dfrac{\partial E^2}{\partial t}
\,
-
\,\d
frac{1}{2}
\,\d
frac{
\p
artial B^2}{
\p
artial t}
$
`
\,-\,\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\partial B^2}{\partial t}`
$
<br>
$
`\color{blue}{\scriptsize{\text{El reconocimiento del término de efecto Joule }\vec{j}\cdot\vec{E}=\dfrac{d\mathcal{P}_{cedida}}{d\tau}}}`
$
$`
\c
olor{blue}{
\s
criptsize{
\t
ext{incita a dividir cada miembro de la ecuación por }
\m
u_0 }}
`$
$
`\color{blue}{\scriptsize{\text{incita a dividir cada miembro de la ecuación por }\mu_0 }}`
$
<br>
$
`
div\,\left(\dfrac{\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}}{\mu_0}\right)`
$
...
...
@@ -614,9 +613,9 @@ $`\quad = -\,\underbrace{
}
\,-\,\dfrac{\epsilon_0}{2}\,\dfrac{\partial E^2}{\partial t}
\,-\,\dfrac{1}{2\,\mu_0}\,\dfrac{\partial B^2}{\partial t}
$
`
`
$
<br>
$`
\c
olor{blue}{
\s
criptsize{
\t
ext{que puedes reescribir:}}}
`$
$
`\color{blue}{\scriptsize{\text{que puedes reescribir:}}}`
$
<br>
**
$
`\mathbf{
div\,\left(\dfrac{\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}}{\mu_0}\right)}`
$
...
...
@@ -626,15 +625,15 @@ $`\mathbf{\quad = -\,\vec{j}\cdot\overrightarrow{E}
\right)
}`
$
**
* Así aparece la **densidad volumétrica de energía electromagnética** de *unidad SI: $`
J
\,
m^{-3}
`
*:
*
Así aparece la
**densidad volumétrica de energía electromagnética**
de
*unidad SI: $`J\,m^{-3}`
$*
:
<br>
**$`
\l
arge{
\m
athbf{
\d
ens_{energía-EM}^{3D}=
\d
frac{
\e
psilon_0
\,
E^2}{2}+
\d
frac{B^2}{2
\m
u_0}}}
`$**
**$`\large{\mathbf{\dens_{energía-EM}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}+\dfrac{B^2}{2 \mu_0}}}`$**
*
Esta densidad volumétrica $
`\dens_{energía-EM}^{3D}`
$
*posee dos componentes*
:
*
una
*componente eléctrica*
**$`\;\dens_{eléc}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}`$**
*
una
*componente magnética*
**$`\;\dens_{magn}^{3D}=\dfrac{B^2}{2 \mu_0}`$**
.
* La energía electromagnética $`
\m
athcal{E}_{EM}
`$ contenida **en un volumen $`
\t
au
`
** se expresa:
*
La energía electromagnética $
`\mathcal{E}_{EM}`
$ contenida
**en un volumen $`\tau`
$**
se expresa :
<br>
**$`\displaystyle\large{\mathbf{\mathcal{E}_{EM}=\iiint_{\tau} \left(\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}+\dfrac{B^2}{2 \mu_0}\right) d\tau}}`$**
...
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