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...@@ -565,22 +565,22 @@ $`\displaystyle d\mathcal{P}_{cedida} = \sum_{i=1}^p\overrightarrow{j_i}\cdot\ov ...@@ -565,22 +565,22 @@ $`\displaystyle d\mathcal{P}_{cedida} = \sum_{i=1}^p\overrightarrow{j_i}\cdot\ov
* Un campo electromagnético $`\big(\overrightarrow{E}\,,\,\overrightarrow{B}\big)`$ que se extiende en el espacio, * Un campo electromagnético $`\big(\overrightarrow{E}\,,\,\overrightarrow{B}\big)`$ que se extiende en el espacio,
la energía contenida en el campo está descrita por la energía contenida en el campo está descrita por
una **densidad volumétrica de energía electromagnética $`\dens_{energía-EM}^{3D}`** definida en cada punto del espacio. una **densidad volumétrica de energía electromagnética $`\dens_{energía-EM}^{3D}`$** definida en cada punto del espacio.
* Parte de la identidad matemática * Parte de la identidad matemática
<br> <br>
$`\mathbf{div\,\big(\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}\big)= $`\mathbf{div\,\big(\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}\big)=
\overrightarrow{V}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)\,-\,\overrightarrow{U}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{V}\big)}`$ \overrightarrow{V}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)\,-\,\overrightarrow{U}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{V}\big)}`$
<br> <br>
y aplícala al campo electromagnético $`\big(\overrightarrow{E}\,,\overrightarrow{B})`$ estableciendo $`\overrightarrow{U}=\overrightarrow{E}`$ y aplícala al campo electromagnético $`\big(\overrightarrow{E}\,,\overrightarrow{B})`$ estableciendo $`\overrightarrow{U}=\overrightarrow{E}`$
y $`\overrightarrow{V}=\overrightarrow{B}`$ y $`\overrightarrow{V}=\overrightarrow{B}`$
<br> <br>
**$`\mathbf{div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)=\overrightarrow{B}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}\big)\,-\,\overrightarrow{E}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}\big)}`**, **$`\mathbf{div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)=\overrightarrow{B}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}\big)\,-\,\overrightarrow{E}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}\big)}`$**,
<br> <br>
$`\color{blue}{\scriptsize{ $`\color{blue}{\scriptsize{
\text{Identifica los términos } \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \text{ y } \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}}}`$ \text{Identifica los términos } \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \text{ y } \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}}}`$
$`\color{blue}{\scriptsize{\text{ con sus causas respectivamente}}}`$ $`\color{blue}{\scriptsize{\text{ con sus causas respectivamente}}}`$
$`\color{blue}{\scriptsize{\text{con las ecuaciones de Maxwell-Faraday y Maxwell-Ampère}}}`$ $`\color{blue}{\scriptsize{\text{con las ecuaciones de Maxwell-Faraday y Maxwell-Ampère}}}`$
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$`\begin{align}div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big) $`\begin{align}div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)
=&\,\overrightarrow{B}\cdot =&\,\overrightarrow{B}\cdot
...@@ -588,22 +588,21 @@ $`\begin{align}div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big) ...@@ -588,22 +588,21 @@ $`\begin{align}div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)
\underbrace{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}} \underbrace{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}}
_{\color{blue}{=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}}\big)\,\\ _{\color{blue}{=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}}\big)\,\\
&\quad-\,\overrightarrow{E}\cdot\big(\underbrace{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}}_{\color{blue}{=\mu_0\,\vec{j}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} &\quad-\,\overrightarrow{E}\cdot\big(\underbrace{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}}_{\color{blue}{=\mu_0\,\vec{j}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
}}\big)\end{align}`$ }}\big)\end{align}`$
<br> <br>
$`div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)`$ $`div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)`$
$`\quad=-\,\mu_0\,\vec{j}\cdot\overrightarrow{E}\,-\,\mu_0\,\epsilon_0\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}\cdot\overrightarrow{E} $`\quad=-\,\mu_0\,\vec{j}\cdot\overrightarrow{E}\,-\,\mu_0\,\epsilon_0\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}\cdot\overrightarrow{E}
\,-\,\overrightarrow{B}\cdot \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\big)$ \,-\,\overrightarrow{B}\cdot \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\big)`$
<br> <br>
$`\color{blue}{\scriptsize{ $`\color{blue}{\scriptsize{
\text{Recuerda que } \vec{u}\dfrac{\partial \vec{u}}{\partial t}=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\partial (\vec{u}\cdot\vec{u})}{\partial t}=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\partial u^2}{\partial t}}}`$ \text{Recuerda que } \vec{u}\dfrac{\partial \vec{u}}{\partial t}=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\partial (\vec{u}\cdot\vec{u})}{\partial t}=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\partial u^2}{\partial t}}}`$
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$`div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)`$ $`div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)`$
$`\quad =-\,\mu_0\,\vec{j}\cdot\overrightarrow{E}\,-\,\dfrac{\mu_0\,\epsilon_0}{2}\,\dfrac{\partial E^2}{\partial t} $`\quad =-\,\mu_0\,\vec{j}\cdot\overrightarrow{E}\,-\,\dfrac{\mu_0\,\epsilon_0}{2}\,\dfrac{\partial E^2}{\partial t}
\,-\,\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\partial B^2}{\partial t} \,-\,\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\partial B^2}{\partial t}`$
$`
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$`\color{blue}{\scriptsize{\text{El reconocimiento del término de efecto Joule }\vec{j}\cdot\vec{E}=\dfrac{d\mathcal{P}_{cedida}}{d\tau}}}`$ $`\color{blue}{\scriptsize{\text{El reconocimiento del término de efecto Joule }\vec{j}\cdot\vec{E}=\dfrac{d\mathcal{P}_{cedida}}{d\tau}}}`$
$`\color{blue}{\scriptsize{\text{incita a dividir cada miembro de la ecuación por }\mu_0 }}`$ $`\color{blue}{\scriptsize{\text{incita a dividir cada miembro de la ecuación por }\mu_0 }}`$
<br> <br>
$` $`
div\,\left(\dfrac{\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}}{\mu_0}\right)`$ div\,\left(\dfrac{\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}}{\mu_0}\right)`$
...@@ -614,9 +613,9 @@ $`\quad = -\,\underbrace{ ...@@ -614,9 +613,9 @@ $`\quad = -\,\underbrace{
} }
\,-\,\dfrac{\epsilon_0}{2}\,\dfrac{\partial E^2}{\partial t} \,-\,\dfrac{\epsilon_0}{2}\,\dfrac{\partial E^2}{\partial t}
\,-\,\dfrac{1}{2\,\mu_0}\,\dfrac{\partial B^2}{\partial t} \,-\,\dfrac{1}{2\,\mu_0}\,\dfrac{\partial B^2}{\partial t}
$` `$
<br> <br>
$`\color{blue}{\scriptsize{\text{que puedes reescribir:}}}`$ $`\color{blue}{\scriptsize{\text{que puedes reescribir:}}}`$
<br> <br>
**$`\mathbf{ **$`\mathbf{
div\,\left(\dfrac{\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}}{\mu_0}\right)}`$ div\,\left(\dfrac{\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}}{\mu_0}\right)}`$
...@@ -626,15 +625,15 @@ $`\mathbf{\quad = -\,\vec{j}\cdot\overrightarrow{E} ...@@ -626,15 +625,15 @@ $`\mathbf{\quad = -\,\vec{j}\cdot\overrightarrow{E}
\right) \right)
}`$** }`$**
* Así aparece la **densidad volumétrica de energía electromagnética** de *unidad SI: $`J\,m^{-3}`*: * Así aparece la **densidad volumétrica de energía electromagnética** de *unidad SI: $`J\,m^{-3}`$* :
<br> <br>
**$`\large{\mathbf{\dens_{energía-EM}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}+\dfrac{B^2}{2 \mu_0}}}`$** **$`\large{\mathbf{\dens_{energía-EM}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}+\dfrac{B^2}{2 \mu_0}}}`$**
* Esta densidad volumétrica $`\dens_{energía-EM}^{3D}`$ *posee dos componentes*: * Esta densidad volumétrica $`\dens_{energía-EM}^{3D}`$ *posee dos componentes*:
* una *componente eléctrica* **$`\;\dens_{eléc}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}`$** * una *componente eléctrica* **$`\;\dens_{eléc}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}`$**
* una *componente magnética* **$`\;\dens_{magn}^{3D}=\dfrac{B^2}{2 \mu_0}`$**. * una *componente magnética* **$`\;\dens_{magn}^{3D}=\dfrac{B^2}{2 \mu_0}`$**.
* La energía electromagnética $`\mathcal{E}_{EM}`$ contenida **en un volumen $`\tau`** se expresa: * La energía electromagnética $`\mathcal{E}_{EM}`$ contenida **en un volumen $`\tau`$** se expresa :
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**$`\displaystyle\large{\mathbf{\mathcal{E}_{EM}=\iiint_{\tau} \left(\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}+\dfrac{B^2}{2 \mu_0}\right) d\tau}}`$** **$`\displaystyle\large{\mathbf{\mathcal{E}_{EM}=\iiint_{\tau} \left(\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}+\dfrac{B^2}{2 \mu_0}\right) d\tau}}`$**
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