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489770a4
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489770a4
authored
May 14, 2024
by
Claude Meny
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...distributions/20.gauss-local/20.overview/cheatsheet.fr.md
+15
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12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/40.gauss-theorem-applications/25.cylindrical-charge-distributions/20.gauss-local/20.overview/cheatsheet.fr.md
View file @
489770a4
...
...
@@ -423,43 +423,43 @@ $`\displaystyle\begin{align}\boldsymbol{\mathbf{ \color{brown}{\rho\, E_{\rho}}}
<br>
**$`\large\text{Pour }\mathbf{\rho_M \gt 0}`$**
:
*
$`\mathbf{div\,\overrightarrow{E} =}`$*
**$`\boldsymbol{\mathbf{\,\dfrac{1}{\rho}\;\dfrac{d(\rho\, E_{\rho})}{d\rho}=
}}`$**
*$`\boldsymbol{\mathbf{\
dfrac{\dens^{3D}(\rho)}{\epsilon_0}= \dfrac{0}{\epsilon_0} =}}`$*
**$`\mathbf{0}`$**
*
*$`\mathbf{div\,\overrightarrow{E} =}`$*
**$`\boldsymbol{\mathbf{\,\dfrac{1}{\rho}\;\dfrac{d(\rho\, E_{\rho})}{d\rho}
}}`$**
*$`\boldsymbol{\mathbf{\
,=\dfrac{\dens^{3D}(\rho)}{\epsilon_0}= \dfrac{0}{\epsilon_0}}}`$*
**$`\,=\mathbf{0}`$**
$
`\Longrightarrow\quad \dfrac{d(\rho\,E_{\rho})}{d\rho}=0`
$
L'intégrale indéfinie $
`\displaystyle \int d(\rho\,E_{\rho})) = \int 0 \times d\rho=Cste\,2`
$,
*
L'intégrale indéfinie $
`\displaystyle \int d(\rho\,E_{\rho})) = \int 0 \times d\rho=Cste\,2`
$,
ou (équivalent),
le fait que $
`\dfrac{d(\rho\,E_{\rho})}{d\rho}=0`
$ implique que $
`\rho\,E_{\rho})}`
$ ne dépend
pas de $
`\rho`
$ et est donc égale à une cosntante $
`=Cste\,2`
$
donne :
donne :
**$`\boldsymbol{\mathbf{\rho\, E_{rho}=Cste\,2}}\quad`$**
(éq.2)}
<br>
Il reste à
**déterminer les constantes**
.
*
Il reste à
**déterminer les constantes**
.
L'étude des
*symétries*
*
de la distribution de charge a conduit à :
L'étude des
*symétries*
*
de la distribution de charge a conduit à :
$
`\left.\begin{align}
\overrightarrow{E}(\rho)=E_{\rho}\overrightarrow{e_{\rho}}\\
\overrightarrow{E}(\rho=0)=\overrightarrow{0}
&
\overrightarrow{E}(\rho)=E_{\rho}\overrightarrow{e_{\rho}}\\
&
\overrightarrow{E}(\rho=0)=\overrightarrow{0}
\end{align}
\right\}\Longrightarrow \boldsymbol{\mathbf{\color{brown}{E_{\rho = 0}=0}}}`
$
$
`\rho=0`
$ appartenant au domaine de l'espace où $
`\mathbf{\rho \
le 0}`
$
dans lequel l'équation (éq.1) est vérifiée, la
*valeur de la constante $`
Const\,1
`$*
$
`\rho=0`
$ appartenant au domaine de l'espace où $
`\mathbf{\rho \le 0}`
$
dans lequel l'équation (éq.1) est vérifiée, la
*valeur de la constante $`
\mathbf{Const\,1}
`$*
peut être déterminée :
$
`\left.\begin{align}
& \dfrac{\dens^{3D}_0\,\rho^2}{2\,\epsilon_0} + Cste
_
1\\
& \dfrac{\dens^{3D}_0\,\rho^2}{2\,\epsilon_0} + Cste
\,
1\\
& \rho = 0
\end{align}
\right\}\Longrightarrow 0+Cste\,1=0
}
\Longrightarrow \mathbf{\color{blue}{Cste\,1=0}}`
$
\right\}\Longrightarrow 0+Cste\,1=0 \Longrightarrow \mathbf{\color{blue}{Cste\,1=0}}`
$
Enfin, par
*continuité*
de $
`\overrightarrow{E}=E_r\,\overrightarrow{e_r}`
$ et donc
continuité de $
`E_r`
$ dans tout l'espace, et donc en particulier
*à la frontière $`\rho=R`$*
:
...
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