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12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/40.gauss-theorem-applications/25.cylindrical-charge-distributions/20.gauss-local/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -385,9 +385,9 @@ E_{\rho}(\rho_M)=\dfrac{R^2\,\dens_0^{3D}}{2\,\epsilon_0\,\rho_M}
 
 
 * La *distribution spatiale des charges* définit **deux domaines** de l'espace, 
- $`\rho_M\le R}`$ et $`\rho_M\gt R}`$, dans lesquels elle prend 
-**deux expressions mathématiques différentes**. séparés 
-par **une frontière : $`\Rho=R`$** 
+ $`\rho\le R`$ et $`\rho \gt R`$, dans lesquels elle prend 
+*deux expressions mathématiques différentes*. séparés 
+par **une frontière : $`\rho=R`$** 
 
 
 * Tu conduiras donc le calcul avec **deux intégrales indéfinies différentes**, ayant *chacune* leur *propre constante d'intégration*.    
@@ -402,31 +402,31 @@ La **détermination des constantes** d'intégration peut se faire à la fin, et
 <br>
 **$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho \le 0}`$** :    
    
-*$`div\,\overrightarrow{E} =`$* **$`\,\dfrac{1}{\rho}\;\dfrac{d(\rho\; E_{\rho})}{d\rho}=`$**
+*$`div\,\overrightarrow{E} =`$* **$`\,\dfrac{1}{\rho}\;\dfrac{d(\rho\, E_{\rho})}{d\rho}=`$**
 *$`\dfrac{\dens^{3D}(\rho)}{\epsilon_0} =`$* **$`\,\dfrac{\dens^{3D}_0}{\epsilon_0}`$**
 
-$`\Longrightarrow\quad\dfrac{d(\rho E_{rho})}{d\rho}=\dfrac{\dens^{3D}_0}{\epsilon_0}\;\rho `$
+$`\Longrightarrow\quad\dfrac{d(\rho\, E_{rho})}{d\rho}=\dfrac{\dens^{3D}_0}{\epsilon_0}\;\rho `$
 
-$`\Longrightarrow\quad d(\rho E_{rho})=\dfrac{\dens^{3D}_0}{\epsilon_0}\;\rho \;d\rho`$
+$`\Longrightarrow\quad d(\rho\, E_{rho})=\dfrac{\dens^{3D}_0}{\epsilon_0}\;\rho \;d\rho`$
 
 L'intégration indéfinie donne alors :
 
-$`\displaystyle\begin{align}\boldsymbol{\mathbf{ \color{brown}{\rho E_{rho}}}}&= \int d(\rho E_{rho})\\
-& = \int \dfrac{\dens^{3D}_0}{\epsilon_0}\;\rho d\rho \\
+$`\displaystyle\begin{align}\boldsymbol{\mathbf{ \color{brown}{\rho\, E_{rho}}}}&= \int d(\rho\, E_{rho})\\
+& = \int \dfrac{\dens^{3D}_0}{\epsilon_0}\;\rho\, d\rho \\
 & \boldsymbol{\mathbf{ \color{brown}{= \dfrac{\dens^{3D}_0\,\rho^2}{2\,\epsilon_0} + Cste\,1}}}
 \quad\text{(éq.1)}\end{align}`$   
    
-   où *$`Cste\,1`$* est une *première constante d'intégration*.
+   où *$`\mathbf{Cste\,1}`$* est une *première constante d'intégration*.
 
 <br>
 **$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho_M \gt 0}`$** :    
    
-*$`div\,\overroghtarrow{E} =`$* **$`\,\dfrac{1}{\rho}\;\dfrac{d(\rho E_{rho})}{d\rho}=`$**
-*$`\dfrac{\dens^{3D}(r)}{\epsilon_0}= \dfrac{0}{\epsilon_0} =`$* **$`0}`$**
+*$`div\,\overrightarrow{E} =`$* **$`\,\dfrac{1}{\rho}\;\dfrac{d(\rho\, E_{rho})}{d\rho}=`$**
+*$`\dfrac{\dens^{3D}(\rho)}{\epsilon_0}= \dfrac{0}{\epsilon_0} =`$* **$`0}`$**
 
-$`\Longrightarrow\quad\dfrac{d(\rho E_{rho})}{d\rho}=0 `$
+$`\Longrightarrow\quad\dfrac{d(\rho\, E_{rho})}{d\rho}=0 `$
 
-$`\Longrightarrow\quad\rho E_{rho}=Cste_2 \quad\text{(éq.2)}`$
+$`\Longrightarrow\quad\rho\, E_{rho}=Cste\,2 \quad\text{(éq.2)}`$
 
 Il reste à déterminer les constantes. L'étude des symétries de la distribution de charge a conduit à :