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12.temporary_ins/08.grad-div-rot/70.combinaisons-of-operators/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -124,7 +124,7 @@ visible: false
   <br>
   **$`\overrightarrow{\Delta}=
    \left(\begin{array}{l}
-    \dfrac{\partial^2 U_x}}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}}{\partial z^2}\\
+    \dfrac{\partial^2 U_x}}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}\\
     \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z^2}\\    
     \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2   
     \end{array}\right)`$**
@@ -181,15 +181,21 @@ $`\quad = \left(
 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; et nous obtenons l'expression **en coordonnées cartésiennes** :
 
-**$`\overrightarrow{grad}\big(div\,\overrightarrow{U}\big)`$
-$`\quad = \left(
+$`\overrightarrow{grad}\big(div\,\overrightarrow{U}\big)`$
+$`\quad =`$
+**$` \left(
 \begin{array}{l}
 \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x\, \partial y}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x \,\partial z}\\
 \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y \,\partial x}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y \,\partial z}\\
 \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z \,\partial x}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z \,\partial y}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}
 \end{array}\right)`$**
 
----------------
+<br>
+
+----------------------------------
+
+<br>
+
 
 * Le **champ de rotationnel $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}`$** d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$ au moins 
   deux fois dérivable, peut être caractérisé *en chacun de ses points* par : 
@@ -233,9 +239,9 @@ $`\quad =
 
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Nous obtenons alors l'expression **en coordonnées cartésiennes** :
 
-**$`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$
-$`\quad =
-\left(\begin{array}{l}
+$`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$
+$`\quad =`$
+**$`\left(\begin{array}{l}
 \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y\,\partial x}
 -\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}
 -\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}
@@ -250,8 +256,12 @@ $`\quad =
 +\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y\,\partial z} \\
 \end{array}\right)`$**
 
+<br>
+
 ----------------------------------
 
+<br>
+
 Un **fait important** apparaît par 
 *soustraction* des composantes cartésiennes *de $`\overrightarrow{grad}\big(div\,\overrightarrow{U}\big)`$*
 *et de $`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$*
@@ -329,10 +339,10 @@ $`\require{cancel}\quad = \left(\begin{array}{l}
 
 * Au total nous obtenons l'expression simple **en coordonnées cartésiennes** :
 
-**$`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
--\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$**
-**$`\quad =
-\left(\begin{array}{l}
+$`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
+-\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$
+$`\quad =`$
+**$`\left(\begin{array}{l}
 \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}\\
 \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z^2}\\
 \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}
@@ -358,7 +368,8 @@ possède son champ $`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
 -\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$ vérifie l'* **équation d'onde** :   
   <br>
   *$`\large{\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
--\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)}`$$`\;\;-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=0}`$*      
+-\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)}`$
+$`\;\;\large{-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=0}`$*      
   <br>
   ou écrit avec le laplacien scalaire :   
   <br>