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Update 12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/40.gauss-theorem-applications/25.cylindrical-charge-distributions/20.gauss-local/20.overview/cheatsheet.fr.md

12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/40.gauss-theorem-applications/25.cylindrical-charge-distributions/20.gauss-local/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -223,34 +223,34 @@ $`\require{\cancel}=\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{\partial\left(\rho\,E_{\rho}\righ
 
 #### Qu'impliquent les invariances de  $`\overrightarrow{E}`$ ?
 
-* L'étude des invariances de la distribution de charge implique en tout point de l'espace :   **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}(\rho)}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_\rho}`$** 
+* L'étude des invariances de la distribution de charge implique en tout point de l'espace :   **$`\boldsymbol{\mathbf{\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}(\rho)}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_\rho}}`$** 
 
 * Dans l'espression $`\dfrac{\partial\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{\partial\,\rho}`$, le terme **$`\rho\,E_{\rho}(\rho)`$** est une **fonction de la seule coordonnée $`\rho`$**. l'opérateur de *dérivée partielle* $`\dfrac{\partial}{\partial\,\rho}`$ peut être *remplacée par* l'opérateur de *dérivée totale* $`\dfrac{d}{d\rho}`$.
 
 * $`\Longrightarrow`$  la divergence de $`\overrightarrow{E}`$ se réécrit :   
-**$`\mathbf{div\overrightarrow{E}=\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{d\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{d\rho}}`$**
+**$`\boldsymbol{\mathbf{div\overrightarrow{E}=\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{d\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{d\rho}}}`$**
 
 #### Comment remonter à l'expression de $`\overrightarrow{E}`$ ?
 
 * $`div\overrightarrow{E}=\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{d\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{d\rho}`$ permet l'*écriture de la différentielle $`d\left(\rho\,E_{\rho}\right)`$* de la fonction $`\rho\,E_{\rho}`$ sous la forme :   
 <br>
-**$`\mathbf{d\left(\rho\,E_{\rho}\right)=\rho\,div\overrightarrow{E}\cdot d\rho}`$**
+**$`\boldsymbol{\mathbf{d\left(\rho\,E_{\rho}\right)=\rho\,div\overrightarrow{E}\cdot d\rho}}`$**
 
 * L'*intégration de $`d\left(\rho\,E_{\rho}\right)`$ entre $`\rho=0`$ et $`\rho_M`$*, $`M=M(\rho_M\,,\varphi_M\,, z_M)`$ étant un point quelconque de l'espace donne :   
 <br>
-**$`\displaystyle\mathbf{\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,E_{\rho}\right)=\rho_M\,E_{\rho}(\rho_M)-0\times E_{\rho}(0)}`$**
+**$`\displaystyle\boldsymbol{\mathbf{\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,E_{\rho}\right)=\rho_M\,E_{\rho}(\rho_M)-0\times E_{\rho}(0)}}`$**
 
 * **par raisons de symétries**, *$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ est nul sur l'axe $`\mathbf{Oz}`$*,     
 $`\overrightarrow{E}(\rho=0) = \overrightarrow{0} \Longrightarrow 0 \times E_{\rho}(0)=0`$,    
 (il suffisait de montrer que le champ garde une valeur finie en $`\rho=0`$)  
 <br>
-$`\quad\Longrightarrow`$ **$`\displaystyle\mathbf{\rho_M\,E_{\rho}=\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,E_{\rho}\right)}`$**
+$`\quad\Longrightarrow`$ **$`\displaystyle\boldsymbol{\mathbf{\rho_M\,E_{\rho}=\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,E_{\rho}\right)}}`$**
 
 * Nous obtenons alors, *en tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\,,\varphi_M\,, z_M)}`$*,    
 <br>
 **$`\left\{\begin{array}{l}
-\mathbf{\rho_M=0\Longrightarrow \overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}} \\
-\mathbf{\displaystyle\rho_M\gt 0 \Longrightarrow \overrightarrow{E}=\dfrac{1}{\rho_M}\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,E_{\rho}\right)\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}}
+\boldsymbol{\mathbf{\rho_M=0\Longrightarrow \overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}}} \\
+\boldsymbol{\mathbf{\displaystyle\rho_M\gt 0 \Longrightarrow \overrightarrow{E}=\dfrac{1}{\rho_M}\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,E_{\rho}\right)\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}}}
 \end{array}\right.`$**
 
 #### Comment faire le lien avec la distribution de charges puis en déduire $`\overrightarrow{E}`$ ?
@@ -266,7 +266,7 @@ $`\left.\begin{array}{l}
 d\left(\rho\,E_{\rho}\right)=\rho\,div\overrightarrow{E}\cdot d\rho \\
 div\overrightarrow{E}=\dfrac{\dens^{3D}}{\epsilon_0}
 \end{array}\right\}`$$`\Longrightarrow`$
-**$`\mathbf{d\left(\rho\,E_{\rho}\right)=\dfrac{\rho\,\dens^{3D}}{\epsilon_0}\cdot d\rho}`$**
+**$`\boldsymbol{\mathbf{d\left(\rho\,E_{\rho}\right)=\dfrac{\rho\,\dens^{3D}}{\epsilon_0}\cdot d\rho}}`$**
 
 * Dès lors, l'intégration relie en chaque point le champ électrique local à la densité volumique de charge locale :
 <br>
@@ -274,7 +274,7 @@ $`\left.\begin{array}{l}
 \displaystyle\overrightarrow{E}=\dfrac{1}{\rho_M}\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,E_{\rho}\right)\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}\\
 d\left(\rho\,E_{\rho}\right)=\dfrac{\rho\,\dens^{3D}}{\epsilon_0}\cdot d\rho
 \end{array}\right\}`$$`\Longrightarrow`$
-**$`\displaystyle\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{1}{\rho_M}\int_{\rho=0}^{\rho_M}\dfrac{\rho\,\dens^{3D}}{\epsilon_0}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+**$`\displaystyle\boldsymbol{\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{1}{\rho_M}\int_{\rho=0}^{\rho_M}\dfrac{\rho\,\dens^{3D}}{\epsilon_0}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}}}`$**
 
 * **Ces résultats**   
     * Sur l'axe de révolution $`Oz`$ ($`\rho_M=0`$ :