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@@ -181,6 +181,12 @@ _Représentation symbolique : des corps galiléens immobiles les uns par rapport
 
 ## <p style="font-size:70%;text-align: center;">Perceptions d'un observateur<br>dans un espace-temps euclidien</p>
 
+
+#### Qu'est-ce qu'un espace-temps euclidien?
+
+* 
+
+
 #### Que perçoit un observateur dans un espace-temps euclidien?
 
 * L'**observateur** vit dans l'*instant présent d'un temps fléché du passé vers le futur*.   
@@ -188,17 +194,20 @@ _Représentation symbolique : des corps galiléens immobiles les uns par rapport
   Sa perception du temps est identique à celle d'un observateur dans 
   l'espace et le temps universels et indépendants de la mécanique classique.
 
-* L'observateur perçoit un *espace euclidien à trois dimensions* 
+* L'observateur vit dans un *espace euclidien à trois dimensions*, c'est à dire
+  il existe des systèmes de coordonnées de l'espace $`(O,x,y,z)`$ couvrant tout l(espace et appelées cartésiennes, tels que, pour tout points $`A`$ et $`B`$ dans l'espace, à tout instant $``t``$ le résultat de la mesure 
+  $`\Delta l_{AB}(t)=\sqrt{\Delta x_{AB}^2(t)+\Delta y_{AB}^2(t)+\Delta z_{AB}^2(t)}`$    
+  \- avec écriture $`\Delta u_{AB}(t)^{\;2}=(u_B(t)-u_A(t))^2`$, avec $`u`$ une coordonnée spatiale.  
   <br>
   Sa perception de l'espace est identique à celle d'un observateur dans l'espace euclidien de la mécanique classique.   
 
 ![observateur, sa grille spatiale et son temps]()
 
-* En particulier :
+* En particulier, à tout instant :
    * L'**écart entre deux droites parallèles** reste *constant*.
-   * Le **rapport entre la circonférence $`\mathscr{C}`$ et le rayon $`R`$** de tout cercle égale
+   * Le **rapport entre la circonférence $`C`$ et le rayon $`R`$** de tout cercle égale
      *deux fois le nombre $`\pi=3,14159...`$* :   
-     **$`\mathscr{C}=2\,\pi\,R`$**
+     **$`C=2\,\pi\,R`$**
    * La **somme des angles aux sommets de tout triangle** égale le *nombre $`\pi=3,14159...`$*.
 
 ![la grille spatiale et droites parallèles, propriétés du cercle et triangle]()