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12.temporary_ins/08.conservative-vector-fields/20.conservative-vector-fields-properties/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -419,7 +419,7 @@ $`\begin{align}
 +X_{\gamma}\,dl_{\gamma}\,\big(\overrightarrow{e_{\gamma}}\cdot\overrightarrow{e_{\gamma}}\big)\\
 \end{align}`$
 
-$`\color{brown}{\mathbf{\; = X_{\alpha}\,dl_{\alpha}+X_{\beta}\,dl_{\beta}+X_{\gamma}\,dl_{\gamma}}}`$
+$`\color{brown}{\mathbf{\; = X_{\alpha}\,dl_{\alpha}+X_{\beta}\,dl_{\beta}+X_{\gamma}\,dl_{\gamma}}}`$   (1)
 
 Par ailleurs, $`\phi`$ étant un champ scalaire, sa différentielle exprimée en fonction des $`d\alpha\,,d\beta\,,d\gamma`$ s'écrit :
 
@@ -433,22 +433,22 @@ Lorsque d'un point $`M`$ de coordonnées $`(\alpha\,,\beta\,,\gamma)`$ tu fais v
 la coordonnée $`\alpha`$ d'une quantité infinitésimale $`d\alpha`$, alors le point $`M`$ se déplace sur un petit élément
 d'arc de longueur $`dl_{\alpha}`$. Il en est de même pour les coordonnées $`\beta`$ et $`\gamma`$.   
 
-! *Note* :
-!
+! *Note* :   
 ! Pour des coordonnées cartésiennes $`(x\,,y\,,z)`$ une variation de la coordonnée $`x`$ d'une quantité $`dx`$ 
 ! correspond à un déplacement $`dl_x`$ tel que $`dl_x=dx`$ et il en est de même pour les deux autres coordonnées, 
-! $`dl_y=dy`$ et $`dl_z=dz`$. Mais dans d'autres systèmes de coordonnées il n'en est pas ainsi (voir coordonnées
+! $`dl_y=dy`$ et $`dl_z=dz`$.   
+! Mais dans d'autres systèmes de coordonnées il n'en est pas ainsi (voir coordonnées
 ! cylindriques et coordonnées sphériques). 
 
 En réécrivant $`d\phi`$ en faisant apparaître les éléments d'arc 
-$`dl_{\alpha}\,,dl_{\beta}\,dl_{\agamma}`$ tu obtiens :
+$`dl_{\alpha}\,,dl_{\beta}\,dl_{\gamma}`$ tu obtiens :
 
-*$`\color{blue}{\;=
+*$`\color{blue}{\mathbf{d\phi}}`$$`\color{blue}{\mathbf{\;=
 \dfrac{\partial \phi}{\partial \alpha}\,\dfrac{d\alpha}{dl_{\alpha}}\, \mathbf{dl_{\alpha}}
 +\dfrac{\partial \phi}{\partial \beta}\,\dfrac{d\beta}{dl_{\beta}}\, \mathbf{dl_{\beta}}
-+\dfrac{\partial \phi}{\partial \gamma}\,\dfrac{d\gamma}{dl_{\gamma}}\, \mathbf{dl_{\gamma}}}`$*
++\dfrac{\partial \phi}{\partial \gamma}\,\dfrac{d\gamma}{dl_{\gamma}}\, \mathbf{dl_{\gamma}}}`$*   (1)
 
-La comparaison terme à terme de ces deux expressions de $`d\phi`$ donne :
+La comparaison terme à terme de ces deux expressions (1) et (2) de $`d\phi`$ donne :
 
 $`X_{\alpha}=\dfrac{\partial \phi}{\partial \alpha}\,\dfrac{d\alpha}{dl_{\alpha}}\quad`$,$`\quad X_{\beta}=\dfrac{\partial \phi}{\partial \beta}\,\dfrac{d\beta}{dl_{\beta}}\quad`$,$`\quad X_{\alpha}=\dfrac{\partial \phi}{\partial \gamma}\,\dfrac{d\gamma}{dl_{\gamma}}`$