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@@ -114,15 +114,15 @@ RÉSUMÉ<br>
   <br>
   $`\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}} \,=\,\underbrace{\propto X(t)}_{\text{proportionnel à X(t)}}`$   
   <br>
-  **$`\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,,\large{t}}`$** est appelé le **taux de variation de $`X`$** à l'instant $`t`$.
+  **$`\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}`$** est appelé le **taux de variation de $`X`$** à l'instant $`t`$.
 
 * Notons **$`\mathbf{r(t)}`$** le *coefficient de proportionnalité*, et nommons le **taux de variation unitaire de $`X`$**   
   <br>
-  $`\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,,\large{t}} \,=\,r(t)\, X(t)`$  
+  $`\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}} \,=\,r(t)\, X(t)`$  
   
 * Le modèle exponentiel postule que **$`\mathbf{r}`$ ne dépend pas du temps**.   
   <br>
-  $`r(t)=r=const\;\Longrightarrow\;\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,,\large{t}} \,=\,r\, X(t)`$  
+  $`r(t)=r=const\;\Longrightarrow\;\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}} \,=\,r\, X(t)`$  
 
 * Lorsque **$`\mathbf{r\gt 0}`$**, le taux de variation $`\dfrac{dX}{dt}`$ est positif. Cela implique un
   *accroissement de $`X`$* au cours du temps et nous parlons de **croissance exponentielle**.   
@@ -152,10 +152,10 @@ RÉSUMÉ<br>
   <br>
 
 
-   $`\color{brown}{\Large{\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\big{t} = r\,X(t)}}`$
+   $`\color{brown}{\Large{\left.\dfrac{dX}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}} = r\,X(t)}}`$
 
   $`\displaystyle\begin{align}
-   \;\;&\Longrightarrow\quad\left.\dfrac{dX}{X}\right\lvert_{\,\big\t}=r\,dt\\
+   \;\;&\Longrightarrow\quad\left.\dfrac{dX}{X}\right\lvert_{\,\large{t}}=r\,dt\\
    \\
    &\Longrightarrow\;\underbrace{\int_{X(t_1)}^{X(t_2)}\dfrac{1}{X}\,dx}_{\color{blue}{\begin{array}{c}
    \text{Primitive }\left(\large{\frac{1}{x}} \right)\\ =\;ln\,|\,x\,|\,+\,const.\end{array}}}=\int_{t_1}^{t_2} r\,dt\\
@@ -260,10 +260,10 @@ L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
 * Elle représente le *nombre de proies*.
 * **hypothèse** : Les proies disposent de *nourriture en quantité illimitée*.   
    * $`\Longrightarrow`$ **en absence de prédateur** rien ne s'oppose à un taux de croissance 
-      *$`\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+`$ proportionnel à $`X_1`$*, le nombre de proies,   
+      *$`\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^+`$ proportionnel à $`X_1`$*, le nombre de proies,   
      conduisant à une croissance exponentielle.   
      <br>
-     **$`\large{\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+ \,=\,+\, C_1\, X_1(t)}\quad`$**, avec *$`C_1 \gt 0`$*.
+     **$`\large{\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^+ \,=\,+\, C_1\, X_1(t)}\quad`$**, avec *$`C_1 \gt 0`$*.
 
 <br>
 
@@ -272,10 +272,10 @@ L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
 * Elle représente le *nombre de prédateurs*.
 * **hypothèse** : Les prédateurs *se nourrissent uniquement de proies*.  
    * $`\Longrightarrow`$ **en absence de proie** les prédateurs meurent selon un taux de décroissance 
-      *$`\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^-`$ proportionnel au nombre $`Y`$* de prédateurs,   
+      *$`\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^-`$ proportionnel au nombre $`Y`$* de prédateurs,   
      conduisant à une décroissance exponentielle.   
      <br>
-     **$`\large{\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^- \,=\,-\, D_2\, X_2(t)}\quad`$**, avec *$`D_2 \gt 0`$*.
+     **$`\large{\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^- \,=\,-\, D_2\, X_2(t)}\quad`$**, avec *$`D_2 \gt 0`$*.
 
 <br>
 
@@ -293,12 +293,12 @@ L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
    * Pour la **population $`X_1`$ des proies**, le *taux de décroissance $`\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^-`$* dû 
      à la prédation est *proportionnel à $`X_1(t)X_2(t)`$*, produit des nombres de proies et prédateurs :
      <br>
-     **$`\large{\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^- \,=\,-\, D_1\;X_1(t)\,X_2(t)}\quad`$**, avec *$`D_1 \gt 0`$*.   
+     **$`\large{\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^- \,=\,-\, D_1\;X_1(t)\,X_2(t)}\quad`$**, avec *$`D_1 \gt 0`$*.   
      <br>
-   * Pour la **population $`X_2`$ des prédateurs**, le *taux de croissance $`\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+`$* dû
+   * Pour la **population $`X_2`$ des prédateurs**, le *taux de croissance $`\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^+`$* dû
      à l'abondance de proies est *proportionnel à $`X_1(t)\,X_2(t)`$* :   
      <br>
-     **$`\large{\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+ \,=\,+\, C_2\;X_1(t)\,X_2(t)}\quad`$**, avec *$`C_2 \gt 0`$*. 
+     **$`\large{\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^+ \,=\,+\, C_2\;X_1(t)\,X_2(t)}\quad`$**, avec *$`C_2 \gt 0`$*. 
 
 <br>
 
@@ -308,17 +308,17 @@ L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
       croissante et sa composante décroissante.   
   <br>
       $`\left\{\begin{array}{l}
-      \left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}=\;\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+\;+\;\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^-\\
+      \left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}=\;\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^+\;+\;\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^-\\
       \\
-      \left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}=\;\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+\;+\;\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^-
+      \left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}=\;\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^+\;+\;\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^-
       \end{array}\right.`$
 
 * Les *hypothèses du modèle se traduisent par* le système d'équations différentielles :   
   <br>
       **$`\large{\left\{\;\begin{array}{l}
-      \left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}=\;\;C_1\;X_1(t)\;-\;D_1\;X_1(t)\,X_2(t)\\
+      \left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}=\;\;C_1\;X_1(t)\;-\;D_1\;X_1(t)\,X_2(t)\\
       \\
-      \left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}=\,-\;D_2\;X_2(t)\;+\;C_2\;X_1(t)\,X_2(t)
+      \left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}=\,-\;D_2\;X_2(t)\;+\;C_2\;X_1(t)\,X_2(t)
       \end{array}\right.}`$**    
   <br>
       avec *$`(C_1\,,C_2\,,D_1\,,D_2)\in\mathbb{R}_+^4`$*.
@@ -424,8 +424,8 @@ L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
   <br>
   **$`\left.\begin{array}{l}
     \forall t \in \mathbb{R}, \\
-    \left.\dfrac{dX_1^*}{dt}\right\vert_{\,\bigt}=0 \\
-    \left.\dfrac{dX_2^*}{dt}\right\vert_{\,\bigt}=0
+    \left.\dfrac{dX_1^*}{dt}\right\vert_{\,\large{t}}=0 \\
+    \left.\dfrac{dX_2^*}{dt}\right\vert_{\,\large{t}}=0
     \end{array}\right\}
     \Longrightarrow\;(X_1^*,X_2^*)`$** est **stationnaire**.
 
@@ -448,14 +448,14 @@ L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
 
       $`\Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}
       \forall t \in \mathbb{R}, \\
-      \left.\dfrac{dX_1^*}{dt}\right\vert_{\,\bigt}=+C_1\,\dfrac{D_2}{C_2}-D_1\,\dfrac{D_2}{C_2}\dfrac{C_1}{D_1}\\
-      \left.\dfrac{dX_2^*}{dt}\right\vert_{\,\bigt}=-D_2\,\dfrac{C_1}{D_1}+C_2\,\dfrac{D_2}{C_2}\dfrac{C_1}{D_1}
+      \left.\dfrac{dX_1^*}{dt}\right\vert_{\,\large{t}}=+C_1\,\dfrac{D_2}{C_2}-D_1\,\dfrac{D_2}{C_2}\dfrac{C_1}{D_1}\\
+      \left.\dfrac{dX_2^*}{dt}\right\vert_{\,\large{t}}=-D_2\,\dfrac{C_1}{D_1}+C_2\,\dfrac{D_2}{C_2}\dfrac{C_1}{D_1}
       \end{array}\right.`$
       
       **$`\mathbf{\Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}
       \forall t \in \mathbb{R}, \\
-      \left.\dfrac{dX_1^*}{dt}\right\vert_{\,\bigt}=0\\
-      \left.\dfrac{dX_2^*}{dt}\right\vert_{\,\bigt}=0
+      \left.\dfrac{dX_1^*}{dt}\right\vert_{\,\large{t}}=0\\
+      \left.\dfrac{dX_2^*}{dt}\right\vert_{\,\large{t}}=0
       \end{array}\right.}`$**
       
 * L'*état stationnaire* est **un point dans l'espace des configuration**.  
@@ -589,9 +589,9 @@ et en construction
 * Les *hypothèses du modèle se traduisent par* le système d'équations différentielles :   
   <br>
       **$`\large{\left\{\;\begin{array}{l}
-      \left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}=\,(\mu_1 - c_{1\rightarrow 2})\,X_1(t)\;+\;c_{2\rightarrow 1}\;X_2(t)\\
+      \left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}=\,(\mu_1 - c_{1\rightarrow 2})\,X_1(t)\;+\;c_{2\rightarrow 1}\;X_2(t)\\
       \\
-      \left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}=\,(\mu_2 - c_{2\rightarrow 1})\,X_1(t)\;+\;c_{1\rightarrow 2}\;X_1(t)
+      \left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}=\,(\mu_2 - c_{2\rightarrow 1})\,X_1(t)\;+\;c_{1\rightarrow 2}\;X_1(t)
       \end{array}\right.}`$**    
   <br>
       avec *$`(\mu_1\,,\mu_2\,,c_{1\rightarrow 2}\,,c_{2\rightarrow 1})\in\mathbb{R}^4`$*.