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@@ -1612,6 +1612,7 @@ $`\quad\quad \;\; = \cdots`$
 
 -------------------------   
 
+<br>
 
  **Calcul de l'onde résultante** *en notation complexe*
  
@@ -1689,7 +1690,7 @@ $`\quad\quad \;\; = \cdots`$
   **$`\quad\;\; = -2i\;sin(\theta_{12})\; e^{\,i\,\theta_{moy}}`$**   
   <br>
 
-* Nous obtenons l'**expression finale** de l'onde résultante de la *superposition de deux OPPH* quelconques :   
+* Nous obtenons l'**expression complexe** de l'onde résultante de la *superposition de deux OPPH* quelconques :   
   <br>
   **$`\underline{U}(\overrightarrow{r},t)`$**  
   <br>
@@ -1699,9 +1700,24 @@ $`\quad\quad \;\; = \cdots`$
   **$`\begin{array}\quad = &+\,2\,A_{moy}\,cos(\theta_{12})\; e^{\,i\,\theta_{moy}}\\
    &-\,2i\,\Delta A_{1-2}\,sin(\theta_{12})\; e^{\,i\,\theta_{moy}}\end{array}`$**   
   <br>
-   L'**onde réelle** est la *partie réelle de l'onde complexe* :    
+
+ * L'**onde réelle** est la *partie réelle de l'onde complexe* :    
   <br>
-  
+  $`U(\overrightarrow{r},t)\,=\,\mathbb{R}e\big(\underline{U}(\overrightarrow{r},t))`$   
+  <br>
+  $`\begin{array}\quad = &+\,2\,A_{moy}\,cos(\theta_{12})\; e^{\,i\,\theta_{moy}}\\
+   &-\,2i\,\Delta A_{1-2}\,sin(\theta_{12})\; e^{\,i\,\theta_{moy}}\end{array}`$   
+  <br>
+  $`\color{blue}{\scriptsize{exp(ia)\,=\, cos\,a\,+\,i\, sin\,a}}`$  
+  <br>   
+  $`\begin{array}\quad = &\mathbb{R}e \big[\,2\,A_{moy}\,cos(\theta_{12})\;(cos\,\theta_{moy}\,+\,isin\,\theta_{moy}})\\
+   &-\,2i\,\Delta A_{1-2}\,sin(\theta_{12})\;(cos\,\theta_{moy}\,+\,isin\,\theta_{moy}})\big]\end{array}`$  
+  <br>
+  $`\begin{array}\quad = &2\times\mathbb{R}e \big[\,A_{moy}\,cos(\theta_{12})\;cos\,\theta_{moy}\,-\,sin\,\theta_{moy}})\\
+   &-\,2i\,\Delta A_{1-2}\,sin(\theta_{12})\;(cos\,\theta_{moy}\,+\,isin\,\theta_{moy}})\end{array}`$    
+
+
+
 
   **$`\begin{array}\quad = &+\,2\,A_{moy}\,cos\big(\omega_{moy} t + \overrightarrow{k}_{moy}\cdot\overrightarrow{r}+ \varphi_{moy}\big)\\
     &\quad\times\,cos\big(\Delta \omega_{12} t + \Delta \overrightarrow{k}_{12}\cdot\overrightarrow{r}+\Delta\varphi_{12}\big)\\