_figure temporaire à réviser : corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$.
**Choix de $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$* : **cylindre**,
**Choix de $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$* : **cylindre**,
* d'**axe $`Oz`$**.
* d'**axe $`Oz`$**.
* de **rayon $`r`$**, coordonnées du point quelconque $`M`$ considéré.
* de **rayon $`\rho_M`$**, coordonnées du point $`M`$ considéré.
* de **hauteur $`h`$**.
* de **hauteur $`h`$**.
#### Que vaut le flux de $`\overrightarrow{E}`$ à travers $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$ ?
#### Que vaut le flux de $`\overrightarrow{E}`$ à travers $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$ ?
* $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$ surface fermée se décompose en **$`\mathbf{\mathcal{S}_G=\mathcal{S}_{dis1}+\mathcal{S}_{lat}+\mathcal{S}_{dis2}}`$** avec :
* $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$ surface fermée se décompose en **$`\mathbf{\mathcal{S}_G=\mathcal{S}_{dis1}+\mathcal{S}_{lat}+\mathcal{S}_{dis2}}`$** avec :
***$`\mathbf{\mathcal{S}_{dis1}}`$** : *disque supérieur* d'élément vectoriel de surface **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=+\rho\,d\varphi\,d\rho\,\overrightarrow{e_z}}`$**,
***$`\mathbf{\mathcal{S}_{dis1}}`$** : *disque supérieur* d'élément vectoriel de surface **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=+\rho\,d\varphi\,d\rho\,\overrightarrow{e_z}}`$**, $`\rho`$ variant de $`0`$ à $`\rho_M`$ pour couvrir la surface du disque.
***$`\mathbf{\mathcal{S}_{lat}}`$** : *surface latérale* tel que **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=+\rho\,d\varphi\,dz\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**,
***$`\mathbf{\mathcal{S}_{lat}}`$** : *surface latérale* tel que **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=+\rho_M\,d\varphi\,dz\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**, tous les $` \overrightarrow{dS}`$ étant ici situés à la même distance $`\rho=\rho_M`$ de l'axe de révolution du cylindre.
***$`\mathbf{\mathcal{S}_{dis2}}`$** : *disque inférieur* tel que **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=-\rho\,d\varphi\,d\rho\,\overrightarrow{e_z}}`$**,
***$`\mathbf{\mathcal{S}_{dis2}}`$** : *disque inférieur* tel que **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=-\rho\,d\varphi\,d\rho\,\overrightarrow{e_z}}`$**, $`\rho`$ variant de $`0`$ à $`\rho_M`$ pour couvrir la surface du disque.
#### 1 ) Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en volume
#### **1 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en volume
##### Description de $`\dens`$ :
##### Description de $`\dens`$ :
...
@@ -219,7 +223,7 @@ _figure temporaire à réviser._
...
@@ -219,7 +223,7 @@ _figure temporaire à réviser._
##### Calcul de la charge $`Q_{int}`$ :
##### Calcul de la charge $`Q_{int}`$ :
* L'*objectif final* est de calculer le champ électrique **$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ en tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\, ,\varphi_M\,,z_M)}`$** de l'espace.
* L'*objectif final* est de calculer le champ électrique **$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ en tout point $`\mathbf{M=(\rho_M\,\varphi_M\,z_M)}`$** de l'espace.
* **2 cas sont à prendre en compte**, selon que le point *$`M`$ est situé à l'intérieur* $`(\rho_M\le R)`$ ou *à l'extérieur* $`(\rho_M\gt R)`$ du cylindre chargé de rayon $`R`$.
* **2 cas sont à prendre en compte**, selon que le point *$`M`$ est situé à l'intérieur* $`(\rho_M\le R)`$ ou *à l'extérieur* $`(\rho_M\gt R)`$ du cylindre chargé de rayon $`R`$.
##### Synthèse des résultats et calcul de $`\overrightarrow{E}`$
##### Synthèse des résultats et calcul de $`\overrightarrow{E}`$
**Pour tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\, ,\varphi_M\, ,z_M)}`$** de l'espace, la synthèse des résultats donne :
**Pour tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\,\varphi_M\,z_M)}`$** de l'espace, la synthèse des résultats donne :
(ne pas oublier le facteur $`1\,/\,\epsilon_0`$)
(ne pas oublier le facteur $`1\,/\,\epsilon_0`$)
...
@@ -451,10 +454,9 @@ $`\left.\begin{array}{l}
...
@@ -451,10 +454,9 @@ $`\left.\begin{array}{l}
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#### _3 )_ Cylindre infini creux de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$
#### **3 -** Cylindre infini creux de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$
* description de $`\dens`$ :
* description de $`\dens`$ :
...
@@ -481,10 +483,9 @@ Nous pouvons considérer **2 méthodes équivalentes**
...
@@ -481,10 +483,9 @@ Nous pouvons considérer **2 méthodes équivalentes**
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##### _4 )_ Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en surface
#### **4 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en surface
* C'est, entre autre mais pas seulement, le cas précédent dans la limite où $`R_{int}\longrightarrow R_{ext}=R`$)
* C'est, entre autre mais pas seulement, le cas précédent dans la limite où $`R_{int}\longrightarrow R_{ext}=R`$)
$`\Longrightarrow \dens^{3D} \text{ est modélisée par } \dens^{2D} `$
$`\Longrightarrow \dens^{3D} \text{ est modélisée par } \dens^{2D} `$
...
@@ -507,11 +508,13 @@ montrer discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ à la traversée d'une surface
...
@@ -507,11 +508,13 @@ montrer discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ à la traversée d'une surface
au passage 3D vers idéalisation 2D : cela aura déjà été vu juste avant dans distribution de charge a symétrie plane, faire le lien.
au passage 3D vers idéalisation 2D : cela aura déjà été vu juste avant dans distribution de charge a symétrie plane, faire le lien.
Cette discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ en $`\rho=R`$ fait que le champ n'est pas défini en $`\rho=R`$ dans cette modélisation, dnas cette idéalisation 2D, ce qui justifie de n'avoir considéré que les deux sous-espaces $`\mathscr{E}_{int}`$ et $`\mathscr{E}_{ext}`$.
Cette discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ en $`\rho=R`$ fait que le champ n'est pas défini en $`\rho=R`$ dans cette modélisation, dnas cette idéalisation 2D, ce qui justifie de n'avoir considéré que les deux sous-espaces $`\mathscr{E}_{int}`$ et $`\mathscr{E}_{ext}`$.
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! et pour reprendre le *cas simple étudié par calcul direct* :
