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@@ -37,7 +37,7 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
 -----------------------------------------------------
 
 
-### **Distributions cylindriques de charge  :** 
+### **Distributions cylindriques de charge** 
 
 #### Comment sont-elles définies ?
 
@@ -66,7 +66,7 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
 * **Étude des invariances** *de la distribution de charges $`\dens`$* :
 
 ![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-1-v7_L1200.gif)   
-_cylindre infini uniformément chargé en volume_
+_cylindre infini uniformément chargé en volume. Corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$.
 
 * invariance par rotation d'angle $`\Delta\varphi`$ quelconque $`\require{\cancel}\Longrightarrow \dens= \dens(\rho,\xcancel{\varphi}, z)`$
 * invariance par translation de longueur $`\Delta z`$ quelconque $`\require{cancel}\Longrightarrow \dens= \dens(\rho,\varphi, \xcancel{z})`$
@@ -89,7 +89,7 @@ $`\Longrightarrow`$**$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$** possède les *invariances
 * *Par l'* **étude des symétries** *de la distribution de charges $`\dens`$*.
 
 ![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-2-v7_L1200.gif) 
-_figure temporaire à réviser_
+_figure temporaire à réviser : corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$.
 
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 * **$`\overrightarrow{E}`$** est un *vecteur polaire*.
@@ -121,37 +121,41 @@ P_2\,(M, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_{\rho}})\; \text{plan d
    * permettre un *calcul simple de $`\displaystyle\oiint_{\mathcal{S}_G} \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dS}`$*.
 
 ![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-3-v4_L1200.gif)   
-_figure temporaire à réviser_
+_figure temporaire à réviser : corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$.
 
 * *Choix de $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$* : **cylindre**,
    * d'**axe $`Oz`$**.
-   * de **rayon $`r`$**, coordonnées du point quelconque $`M`$ considéré.
+   * de **rayon $`\rho_M`$**, coordonnées du point $`M`$ considéré.
    * de **hauteur $`h`$**.
 
 #### Que vaut le flux de $`\overrightarrow{E}`$ à travers $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$ ?
 
 * $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$ surface fermée se décompose en **$`\mathbf{\mathcal{S}_G=\mathcal{S}_{dis1}+\mathcal{S}_{lat}+\mathcal{S}_{dis2}}`$** avec :
-   * **$`\mathbf{\mathcal{S}_{dis1}}`$** : *disque supérieur* d'élément vectoriel de surface **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=+\rho\,d\varphi\,d\rho\,\overrightarrow{e_z}}`$**,    
+
+   * **$`\mathbf{\mathcal{S}_{dis1}}`$** : *disque supérieur* d'élément vectoriel de surface **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=+\rho\,d\varphi\,d\rho\,\overrightarrow{e_z}}`$**, $`\rho`$ variant de $`0`$ à $`\rho_M`$ pour couvrir la surface du disque.   
    $`\Longrightarrow \overrightarrow{dS}\perp\overrightarrow{E}`$
-   * **$`\mathbf{\mathcal{S}_{lat}}`$** : *surface latérale* tel que **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=+\rho\,d\varphi\,dz\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**,   
+   
+   * **$`\mathbf{\mathcal{S}_{lat}}`$** : *surface latérale* tel que **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=+\rho_M\,d\varphi\,dz\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**, tous les $` \overrightarrow{dS}`$ étant ici situés à la même distance $`\rho=\rho_M`$ de l'axe de révolution du cylindre.   
    $`\Longrightarrow \overrightarrow{dS}\parallel\overrightarrow{E}`$
-   * **$`\mathbf{\mathcal{S}_{dis2}}`$** : *disque inférieur* tel que **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=-\rho\,d\varphi\,d\rho\,\overrightarrow{e_z}}`$**,    
+   
+   * **$`\mathbf{\mathcal{S}_{dis2}}`$** : *disque inférieur* tel que **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=-\rho\,d\varphi\,d\rho\,\overrightarrow{e_z}}`$**, $`\rho`$ variant de $`0`$ à $`\rho_M`$ pour couvrir la surface du disque.          
    $`\Longrightarrow \overrightarrow{dS}\perp\overrightarrow{E}`$
 
+
 * **$`\mathbf{\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**   
 $`\displaystyle\quad=\iint_{\mathcal{S}_{dis1}}\underbrace{\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}_{=\;0}+\iint_{\mathcal{S}_{lat}}\underbrace{\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}_{=\;E\cdot dS}`$
 $`\,+\iint_{\mathcal{S}_{dis1}}\underbrace{\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}_{=\;0}`$   
 $`\displaystyle\quad=0 + \iint_{\mathcal{S}_{lat}} E\cdot dS + 0`$   
-$`\displaystyle\quad=\iint_{\mathcal{S}_{lat}} \underbrace{E_{\rho}(\rho)}_{=\; E} \cdot \rho\,d\varphi\,dz`$   
-$`\displaystyle\quad= E  \iint_{\mathcal{S}_{lat}} \rho\,d\varphi\,dz`$   
+$`\displaystyle\quad=\iint_{\mathcal{S}_{lat}} \underbrace{E_{\rho}(\rho)}_{=\; E} \cdot \rho_M\,d\varphi\,dz`$   
+$`\displaystyle\quad= E  \iint_{\mathcal{S}_{lat}} \rho_M\,d\varphi\,dz`$   
 
-**$`\mathbf{\quad\quad\;\,= 2\pi \rho\,h\, E}`$**
+**$`\mathbf{\quad\quad\;\,= 2\pi \rho_M\,h\, E}`$**
 
 #### Comment calculer la charge $`Q_{int}`$,  puis en déduire $`\overrightarrow{E}`$ ?
 
 * **Les résultats précédents**   
    * $`\overrightarrow{E}(\rho, \varphi, z)=E(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}`$   
-   * $`\Phi_E^{\mathcal{S}_G}= 2\pi \rho\,h\, E`$ , avec $`\Phi_E`$ le flux de $`\overrightarrow{E}`$ à travers $`{\mathcal{S}_G}`$
+   * $`\Phi_E^{\mathcal{S}_G}= 2\pi \rho_M\,h\, E`$ , avec $`\Phi_E`$ le flux de $`\overrightarrow{E}`$ à travers $`{\mathcal{S}_G}`$
    
    sont *commun à toutes les distributions* de charge à symétrie cylindrique invariantes par translation selon $`Oz`$.
 
@@ -198,7 +202,7 @@ $`\overrightarrow{E},(\rho, \varphi, z)=E\;`\overrightarrow{e_{\rho}}`$
 ----------------------------------------------->
 <br>
 
-#### 1 ) Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en volume
+#### **1 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en volume
 
 ##### Description de $`\dens`$ :
 
@@ -219,7 +223,7 @@ _figure temporaire à réviser._
 
 ##### Calcul de la charge $`Q_{int}`$ :
 
-*  L'*objectif final* est de calculer le champ électrique **$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ en tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\, ,\varphi_M\, ,z_M)}`$** de l'espace.
+*  L'*objectif final* est de calculer le champ électrique **$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ en tout point $`\mathbf{M=(\rho_M\,\varphi_M\,z_M)}`$** de l'espace.
 *  **2 cas sont à prendre en compte**, selon que le point *$`M`$ est situé à l'intérieur* $`(\rho_M\le R)`$ ou *à l'extérieur* $`(\rho_M\gt R)`$ du cylindre chargé de rayon $`R`$.
 
 <br>
@@ -274,7 +278,7 @@ _Corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$.
 
 ##### Calcul de $`\overrightarrow{E}`$
 
-**Pour tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\, ,\varphi_M\, ,z_M)}`$** de l'espace, la synthèse des résultats donne :   
+**Pour tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\,\varphi_M\, z_M)}`$** de l'espace, la synthèse des résultats donne :   
 (ne pas oublier le facteur $`1\,/\,\epsilon_0`$)
 
 * **Si $`\mathbf{\rho_M \le R}`$**,    
@@ -319,12 +323,11 @@ P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})\; \text{plan de symét
 \text{tout plan contenant }\Delta \text{ : plan de symétrie} 
 \end{array}\right\}`$$`\,\Longrightarrow`$$`\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}`$
 
-<br><
-
+<br>
 
---------------------------------------------
+--------------------------------
 
-#### _2 )_ Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé non uniformément en volume
+#### **2 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé non uniformément en volume
 
 ##### Description de $`\dens`$ :
 
@@ -412,7 +415,7 @@ $`\displaystyle\hspace{1.2cm}= \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}}  A\,\rho^3\
 
 ##### Synthèse des résultats et calcul de $`\overrightarrow{E}`$
 
-**Pour tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\, ,\varphi_M\, ,z_M)}`$** de l'espace, la synthèse des résultats donne :   
+**Pour tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\,\varphi_M\, z_M)}`$** de l'espace, la synthèse des résultats donne :   
 (ne pas oublier le facteur $`1\,/\,\epsilon_0`$)
 
 
@@ -451,10 +454,9 @@ $`\left.\begin{array}{l}
 
 <br>
 
--------------------------------------------------
-
+-----------------------
 
-#### _3 )_ Cylindre infini creux de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$ 
+#### **3 -** Cylindre infini creux de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$ 
 
 * description de $`\dens`$ :
 
@@ -481,10 +483,9 @@ Nous pouvons considérer **2 méthodes équivalentes**
 
 <br>
 
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-##### _4 )_ Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en surface
+#### **4 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en surface
 
 * C'est, entre autre mais pas seulement,  le cas précédent dans la limite où $`R_{int}\longrightarrow R_{ext}=R`$)    
   $`\Longrightarrow \dens^{3D} \text{ est modélisée par } \dens^{2D} `$  
@@ -507,11 +508,13 @@ montrer discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ à la traversée d'une surface
 au passage 3D vers idéalisation 2D : cela aura déjà été vu juste avant dans distribution de charge a symétrie plane, faire le lien.  
 Cette discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ en $`\rho=R`$ fait que le champ n'est pas défini en $`\rho=R`$ dans cette modélisation, dnas cette idéalisation 2D, ce qui justifie de n'avoir considéré que les deux sous-espaces $`\mathscr{E}_{int}`$ et $`\mathscr{E}_{ext}`$.
 
+<br>
 
+--------------------------------
 
-! et pour reprendre le *cas simple étudié par calcul direct* :
+#### **5 -** Fil rectiligne infini uniformément chargé
 
-##### Quel est le champ électrique créé par un fil rectiligne infini uniformément chargé ?
+C'est l'un des cas simples résolus par le calcul direct.
 
 \- fil infini chargé uniformément : $`\dens^{1D}=cste`$ 
 (montrer champ infini en $`\rho=0`$ en contradiction avec symétries,   
@@ -520,10 +523,9 @@ au voisinage de $`\rho=0`$ est dans les dimensions négligées).
 
 <br>
 
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-### **5 -** Cylindres creux coaxiaux
+#### **6 -** Cylindres creux coaxiaux
 
 Cas particulier où ils portent des charges opposées, lien avec le condensateur cylindrique. Parallélisme possible.