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@@ -417,20 +417,22 @@ contenue dans le volume $`\tau`$, nous obtenons l'**expression intégrale de la
 
 #### Le champ électromagnétique peut-il céder de l'énergie à la matière ?
 
-* La sensibilité d'une particule à l'interaction avec un champ électromagnétique se quantifie
-par le paramètre appelé charge électrique de la particule.   
+##### Puissance cédée à un porteur de charge
+
+* La **sensibilité** d'une particule **à l'interaction électromagnétique** se quantifie
+par le paramètre appelé *charge* électrique de la particule.   
 
 * La force qui décrit l'*action d'un champ électromagnétique $`\big(\overrightarrow{E}\,,\overrightarrow{B}\big)`$* 
 sur une particule de charge $`q`$ est la **force de Lorentz** d'expression :   
 <br>
-**$`\overrightarrow{F}_{\,Lorentz}=q\Big(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{B}\Big)`$<br>
+**$`\overrightarrow{F}_{\,Lorentz}=q\Big(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{B}\Big)`$**<br>
 <br>
 &nbsp;&nbsp;où $`\overrightarrow{\speed}`$ est le vecteur vitesse de la particule dans le référentiel d'inertie de l'observation.
 
 * *Lors d'un déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$* de la particule dans le champ électromagnétique
 $`\big(\overrightarrow{E}\,,\overrightarrow{B}\big)`$, le **travail de la force de Lorentz** s'écrit :   
 <br>
-$`d\mathcal{W}_{\,Lorentz}=\overrightarrow{F}_{Lorentz}\cdot\overrightarrow{dl}`$,   
+**$`d\mathcal{W}_{\,Lorentz}=\overrightarrow{F}_{Lorentz}\cdot\overrightarrow{dl}`$**,   
 <br>
 soit   
 <br>
@@ -444,10 +446,10 @@ d\mathcal{W}_{\,Lorentz}&=q\Big(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{\speed}\land\
 <br>
 où $`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)`$ est le produit mixte de la séquence des trois vecteurs.
 
-* Les vecteurs $`\overrightarrow{\speed}`$ et $`\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{\speed}\,dt`$ étant colinéaires, le produit mixte 
+* Les *vecteurs $`\overrightarrow{\speed}`$ et $`\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{\speed}\,dt`$* étant *colinéaires*, le produit mixte 
 est nul :   
 <br>
-$`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$,
+*$`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$*,
 
 !!!! 
 !!!! <details markdown=1>
@@ -476,9 +478,9 @@ $`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$,
 !!!! </details>
 !!!! 
 
-* $`\Longrightarrow`$ travail de la force de Lorentz se simplifie :   
+* $`\Longrightarrow`$ le **travail de la force de Lorentz** se simplifie :   
 <br>
-**$`\mathcal{W}_{\,Lorentz} = q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}`$**
+**$`d\mathcal{W}_{\,Lorentz} = q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}`$**
 
 ! *Remarque :*
 !
@@ -493,81 +495,49 @@ $`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$,
 !
 ! $`\mathbf{d\mathcal{W}_{\,Lorentz} = d\mathcal{W}_{\,élec} =q\,\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}}`$
 
-* La **puissance cédée par le champ** à cette particule s'écrit :   
+* La **puissance élémentaire cédée par le champ** à cette particule s'écrit :   
 <br>
 **$`\mathbf{\mathcal{P}_{cédée} = \dfrac{d\mathcal{W}_{\,Lorentz}}{dt} = q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}}`$**
 
-##### Puissance cédée dans un matériau
-
-
-$`d\mathcal{P}_{cédée} = \mathcal{n}\,\big( q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}\big)\,d\tau`$
-
-$`\dens=\mathcal{n}\,q`$
-
-$`d\mathcal{P}_{cédée} = \big(\mathcal{n}\, q\big)\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}\,d\tau`$
-
-$`d\mathcal{P}_{cédée} = \dens\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}\,d\tau`$
-
-$`\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}=\overrightarrow{\speed}\cdot\overrightarrow{E}`$
-
-$`\overrightarrow{j}=\dens\,\overrightarrow{\speed}`$
-
-$`d\mathcal{P}_{cédée} = \big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau`$
-
-$`\displaystyle d\mathcal{P}_{cédée} = \sum_{i=1}^p \big(\mathcal{n}_i\,q_i\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed_i}\big)\,d\tau`$
-
-$`\displaystyle d\mathcal{P}_{cédée} = \sum_{i=1}^p \dens_i\,d\tau\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed_i}`$
-
-$`\displaystyle d\mathcal{P}_{cédée} =  \sum_{i=1}^p\overrightarrow{j_i}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau`$
-
-
-
-$`d\mathcal{P}_{cédée} = \overrightarrow{j}_{total}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau`$
-
-$`\overrightarrow{j}_{total}=\overrightarrow{j}`$
-
-$`\mathbf{d\mathcal{P}_{cédée} = \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau}`$
-
-$`\mathbf{d\mathcal{P}_{cédée} = \big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau}`$
-
-$`\displaystyle\mathbf{\mathcal{P}_{cédée} = \iiint_{\Ltau}\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau}`$
-
-$`\displaystyle\mathbf{\mathcal{P}_{cédée} = \iiint_{\Ltau}\big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau}`$
-
-
-@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
+##### Puissance cédée dans un matériau avec un seul type porteur de charge
 
+* Si le **milieu matériel** contient *$`n`$ porteurs identiques de charge $`q`$ par unité de volume*,
+alors un volume élémentaire $`d\tau`$ contient $`n\,\tau`$ porteurs de charge 
+et la **puissance élémentaire cédée** par le champ électromagnétique s'écrit :   
+<br>
+**$`d\mathcal{P}_{cédée} = \mathcal{n}\,\big( q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}\big)\,d\tau`$**
 
+* Exprimée *avec la densité volumique de charge $`\dens=\mathcal{n}\,q`$* :   
+<br>
+$`d\mathcal{P}_{cédée} = \big(\mathcal{n}\, q\big)\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}\,d\tau = = \dens\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}\,d\tau`$
 
+* Exprimée *avec le vecteur densité volumique de courant $`\overrightarrow{j}=\dens\,\overrightarrow{\speed}`$*, en remarquant que 
+$`\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}=\overrightarrow{\speed}\cdot\overrightarrow{E}`$ :   
+<br>
+**$`d\mathcal{P}_{cédée} = \big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau`$**
 
+##### Puissance cédée dans un matériau avec un seul type porteur de charge
 
-* Lors d'un déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl_1}`$ de la charge, la force de Lorentz produit le travail élémentaire $`d\mathcal{W}`$ :   
+* Lorsqu'un matériau contient **plusieurs types de porteurs de charges $`q_i`$** 
+en *concentrations $`n_i* et animées de *vitesses de dérives $`\overrightarrow{v_d\,i}`$* :   
 <br>
-$`d\mathcal{W}=\overrightarrow{F}_{Lor}\cdot \overrightarrow{dl_1}`$    
-$`\quad = q_1\,\big(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{\mathscr{v_1}}\land\overrightarrow{B}\big) \cdot \overrightarrow{dl_1}`$
-$`\quad = q_1\,\big(\overrightarrow{E}) \cdot \overrightarrow{dl_1}\big)+\big(\overrightarrow{\mathscr{v_1}}\land\overrightarrow{B}\big) \cdot \overrightarrow{dl_1}\big)`$
-
-* Le vecteur vitesse de définition $`\mathscr{v_1}=\dfrac{\overrightarrow{dl_1}}{dt}`$ est toujours parallèle à $`\overrightarrow{dl_1}`$, donc :
-   * le produit mixte des trois vecteurs $`{\mathscr{v_1}}\,,\,\overrightarrow{B}\text{ et }d\mathscr{l_1}`$ est nul :   
-      $`{\mathscr{v_1}}\land\overrightarrow{B}\big) \cdot d\mathscr{l_1}=0`$
-   * $`\Longrightarrow`$ la force magnétique ne travaille pas.
-Ainsi le travail élémentaire de la force de Lorentz sur un porteur est celui de sa seule composante électrique :   
+$`\displaystyle d\mathcal{P}_{cédée} = \sum_{i=1}^p \big(\mathcal{n}_i\,q_i\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed_i}\big)\,d\tau`$   
 <br>
-$`d\mathcal{W}_1=\overrightarrow{F}_{Lor}\cdot d\mathscr{l_1}=q_1\,\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{\overrightarrow{dl_1}}}`$
-
-La puissance $`\mathcal{P_1}`$ reçue par un porteur s'exprime, en remarquant que 
-$`\mathscr{l_1}=\overrightarrow{\mathscr{v_1}}\,dt`$ :
+$`\displaystyle d\mathcal{P}_{cédée} = \sum_{i=1}^p \dens_i\,d\tau\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed_i}`$   
+<br>
+$`\displaystyle d\mathcal{P}_{cédée} =  \sum_{i=1}^p\overrightarrow{j_i}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau`$   
 <br>
-**$`\mathcal{P}_1=\dfrac{d\mathcal{W}_1}{dt}`$**
-$`\quad=\dfrac{q_1\,\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l_1}}{dt}`$
-$`\quad =\dfrac{q_1\,\overrightarrow{E}\cdot }=\overrightarrow{\mathscr{v_1}}\,dt}{dt}`$
-**$`\quad =q_1\,\overrightarrow{E}\cdot }=\overrightarrow{\mathscr{v_1}`$**
+*$`d\mathcal{P}_{cédée} = \overrightarrow{j}_{total}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau`$*
 
-Si le milieu contient $`n_1`$ porteurs identiques de charge $`q_1`$ par unité de volume, alors un volume élémentaire $`d\tau`$ contient $`n_1\,\tau`$ porteurs de charge et reçoit du champ la puissance élémentaire :   
+* En posant plus simplement *$`\overrightarrow{j}_{total}=\overrightarrow{j}`$* :     
 <br>
-$`d\mathcal{P}=n_1\,d\tau\,\mathcal{P}_1=n_1\, q_1\,\overrightarrow{E}\cdot }=\overrightarrow{\mathscr{v_1}\,d\tau
+**$`\mathbf{d\mathcal{P}_{cédée} = \big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau}`$**
 
+* La **puissance cédée** par le champ électromagnétique **dans un volume $`\tau`$** :   
+<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{\mathcal{P}_{cédée} = \iiint_{\Ltau}\big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau}`$**
 
+* C'est l'**$`\large\text{Effet Joule}}`$**
 
 
 #### Le champ électromagnétique contient-t-il de l'énergie ?